【中華百科全書●科學●ξ函數】

楊籍富

【中華百科全書●科學●ξ函數】

 

自從西元十九世紀以來，很多稱為ξ­-函數（ZetaFunction）的特殊函數，便被不斷地定義及研究。

 

關於ξ-函數之問題，主要有四：一、創造新的ξ-­函數。

 

二、研究ξ-­函數之性質。

 

一般而言，這些性質包括：（一）它們在複數平面上為有理函數，（二）它們可展成狄立屈力特（Dirichlet）級數。

 

（三）它們可展成歐依勒（Euler）積式，（四）它們滿足一些函數方程式，而且求ξ­-函數之極、留數及零位也是重要的研究範圍。

 

三、在數論上的應用。

 

四、不同ξ-­函數間之關係。

 

茲黎曼（Riemann）之ξ­-函數以說明之：若s＞1，則（方程式1）（收斂級數），ξ­-函數定義為ξ­(s)=（方程式2）（狄立屈力特級數）歐依勒早已發現（方程式3）（歐依勒積式）其中P為所有之質數，一八五九年時，黎曼首先考慮s為複數時之ξ-函數，即所謂之黎曼ξ-函數，並發現於Res＞l時，ξ(s)為一正則函數且沒有零位，更證明ξ(s)在複數平面上有正則的連續延拓；

 

是一有理函數；

 

s＝l為唯一之極；

 

滿足函數方程式ξ­(s)=ξ­(1-s)，其中ξ­(s)=π-s/2G(s/2)ξ(s)­；

 

且ξ(s)在s＝l之留數為1。

 

（楊國勝）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=10414