【中華百科全書●科學●體】

楊籍富

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一、基本概念體理論（FieldTheory），為抽象代數中之一大部門，並為邏輯提示「模型論」方面的範例與論證。

 

定義：若K為一交換環，則K是一個整域（IntegralDomain），當且只當：對K之任何元素x、y，x≠0,y≠0，則必xy≠0（即K為一無零約元的環）。

 

定義：F是一個體（Field），當且只當：F至少含兩個相異元素，F是具有么元的交換環，並且F之每一個非零元素X有乘法逆元X-1（即x≠0,則xx-1＝l，1為F之么元）。

 

例：Z5、R、Q都是體。

 

若F是一個體，令F*為F之所有非零元素之集合，則F*在F之乘法運算下形成一個交換（阿貝爾），並且對F*之任何元素x、x-1是唯一的。

 

定理（一）：若R為一交換環，R至少含二個相異元素，則：R是一個體，當且只當：對R之任何？

 

I，I＝{0}或I＝R（0為R之零元）。

 

定理（二）：給定任何一個整域D，必有個體Q（D）與體同態j：D→Q（D）對任何xD，有D之非零元素a、b使j（x）=ja/jb=（ja）（jb）-1。

 

又任何環同態f：D→F可表示為f=f'。

 

j，在此f'：Q（D）→F是唯一的。

 

定義：上述的體Q（D）稱為整域D的分數體（FractionalField，或FieldofQuotients）由此知道：若整域D為體F之一子環，F之每一個元素x可表示為x＝ab-1=a/b，a、b為D之某二個非零元素，則Q（D）與F同構。

 

例：有理數環（有理數體）Q為Z之分數體。

 

二、多項式的環（RingofPolynomials）定義：設K為任何整數，K0，F為一體，x為一遍歷F的變元（x為一可指謂F之任何元素之符號，或所謂Indeterminate，fi為F元素（0ik）0fk0，稱代數式f0 f1x f2x2 … fkxk為一布於F的多項式或F上的多項式。

 

若fk≠0，稱此fk為此多項式之首項係數（LeadingCoefficient），此多項式稱為K次多項式。

 

若K=0，稱此多項式之次數為－∞，或稱此多項式為一常元多項式。

 

若f、k如前，令degf＝k.。

 

若g=g0 g1x g2x2 … gx,g≠0，所有giF令f．g=f0g0 (f0g1 f1g0)x … (fkg)xk ，f＋g為f、g這兩個多項式之對應係相加後所得到的多項式。

 

於是，deg（f＋g）max（degf,degg）（f、g之次數中之最大者）deg（f．g）＝（degf） （degg）。

 

定義：若R為一交換環，x為遍歷R之元，設R[X]＝{p（x）：p（x）為R上的多項式}，同理，若X＝{Xj：jJ}為一組元（J為一指標集），令R[X]＝{ψ（X）：p（x）是由所有Xj所成的多項式，其係數來自R}，在此，p（X）可表示為（方程式1）Σ指遍歷j1,j2,…jn,k1,…,kn之代數和（用環R之運算＋、－表示），a(j1,…,jn,k1,…,kn)R。

 

定理（三）：給定交換環R，R'，則環同態h：R→R'有唯一的環同態h#：R[X]→R'〔x〕使得：h#(x)=x對R之任何元素r，h#(r)=h(r)定理四：給定交換環R，有一交換環R〔x,y〕滿足下列條件(一)與(二)：(一)RR〔x,y〕(x、y為元)(二)對任何交換環R'與其任何兩個選定的元素d,eR'，環同態f：R→R'必有唯一的環同態f*：R〔x,y〕→R'使得：f*局限於R就是f(f*∣R=f)，並且f*(x)=d,f*(y)=e。

 

於是，由定理四，對任何交換環R，對任何兩個元x、y，必存在一個環同態θ：(R〔x〕)〔y〕→(R〔y〕)〔x〕使得：θ(x)=x,θ(y)=y，並且對R之任何元素r,θ(r)=r，這結果使我們能把(R〔x〕〔y〕與R〔y〕)〔x〕視若同一個環，並記作R〔x,y〕。

 

三、主？

 

域（PrincipleIdealDomain）下面所引介的結果都是初等代數中一些結果的推廣。

 

定義：對任何環R，對任何a,bR，a∣b（b可被a整除）當且只當：有cR使ac=b。

 

注意：若d∣1，則d在R內有逆元d-1。

 

定義：R,a,b,如前。

 

a為b之Associate，當且只當a∣b,b∣a。

 

定義：若D為一整域，bD。

 

b是D之一質元（PrimeElement,Prime），當且只當：b≠0，在D內，b沒有逆元，並且b不被b之Associate整除。

 

定理五：〔DivisionAlgorithm〕若D為一整域，g為D〔x〕之元素（即一多項式），則對任何fD〔x〕，有唯一的q,rD〔x〕使得f=qg r,degr＜degg。

 

上述定理與環之？

 

頗有關聯。

 

定義：若R為一交換環，bR，令(b)=｛rb：rR｝,稱(b)為R之主？

 

（主理想）或由元素b所產生的（主）？

 

定義：整域D是一個主？

 

域，當且只當，D之每一個？

 

是主？

 

域。

 

定理六：若F為一體，則多項式環F〔x〕為一主？

 

域。

 

定理七：整數環Z是一個主？

 

域。

 

定義：若D為一整域，a,bD，設g.c.d.(a,b)=d當且只當：(一)d｜a,d｜b(二)對任何cD,c｜a,c｜b則c｜d若D=Z,g.c.d.(a,b)稱為a與b之最大公約數。

 

定理八：對任何主？

 

域D，D之任何兩個非零元素a、b必有一個最大公約元g.c.d.(a.b)，g.c.d.(a,b)=d=sa tb,s,t為D之某二個適當的元素。

 

定義：若D為一整域，a,bD,a,b≠0，a與b互質，當且只當，g.c.d.(a,b)=1。

 

定理九：〔惟一分解定理〕在任何一主？

 

域D內，每一個非零元素a有逆元，並且a可分解為有限多個質元之乘積a=p1p2…pm（每一個pi為D之質元）。

 

若a=q1…qn為a之另一分解，則n=m，並且，除了順序上的排列外，｛p1,p2,…,pm｝=｛q1,q2,…,qn｝。

 

四、體之代數擴展與超越擴展定義：若G、F即是體。

 

G是F的代數閉包（AlgebraicClosure），當且只當：FÍG，並且對任何p(x)F〔x〕，有αG使p(α)=0（即F上的任何多項式有一根落在G中）。

 

定理十：任何體必有一個代數閉包。

 

這個定理之證明要用到集合論中的選擇公設或極大原理。

 

定義：給定體F、G，設FÍG,S=｛xj：jJ｝ÍG,X=｛Xj：jJ｝X為一組元。

 

(一)F(S)為G的所有子體中包含F、S的最小子體。

 

(二)F(S)為F之超越擴大體（TranscendentalExtension，超越擴展）當且只當：映射f：F〔X〕→F(S)是1-1的P(X)→p(S)（在此，F[X]之定義見前節。

 

注意：若p（X）如前節定義所述，則（方程式2）（方程式3）（三）若F（S）為F之超越擴大體，稱S為F（S）之超越基底（TranscendenceBasisforF（S））。

 

定義：給定體F，G，FÍG。

 

稱G為F之代數擴大體（AlgebraicExtension，代數擴展），當且只當：G之每一個元素是F上某一多項式之一根。

 

定理十一：給定體F，G，FÍG（一）G有一極大子體H，ψ≠HG（H＝G），使得H是F的超越擴體，G是H的代數擴大體。

 

（二）若S為H的超越基底，則G，S，H這三個集合之基數滿足下列關係：∣Ｈ∣＞∣Ｆ∣＋ω，∣Ｓ∣＝∣Ｈ∣＝∣Ｇ∣（三）若F與F'同構，S與S'呈l－l對應，S與S'又為F之超越基底，則F（S）與F（S'）同構。

 

這定理之證明要用到集合論中的選擇公理或極大原理。

 

定義：體F是一個代數閉合體（AlgebraicallyClosedField），當且只當：F上的每一個多項式均可分解為一次因式（即F上的每一個多項式有一根落在F內）。

 

定理十二：若體F與G均有相同的特徵數與相同的非可列基數(∣Ｆ∣＝∣Ｇ∣＞ω)，並且F與G都是代數閉合體，則F與G同構。

 

注意：對每一個自然數n，有一個體Fn，Fn不是代數閉合體，但次數n的所有多項式p(x)Fn[x]均有根落在Fn內。

 

在此所述「體之擴展」的各種概念與二個定理，是「體之結構」理論中之「初步」定理。

 

這些結果曾給現代邏輯一些有力的提示而發展出「模型論」。

 

另方面，「體之擴展」理論方面，有伽羅華理論（Galois'Theory），這是要研究純抽象代數者不可不知曉的，因篇幅所限，我們不在此引介。

 

（洪成完）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=10407