【中華百科全書●科學●行列式】

楊籍富

【中華百科全書●科學●行列式】

 

一個n階的矩陣A=（aik），i，k=1，2…n的行列式（Determinant）為（sgnP）a1p1a2p2．．．anpn，式中aik皆為在一交換環內的元素P=(方程式1)為一個1，2，…，n的置換，sgnP為置換P的符號（若P為偶置換，則sgnP=1，若P為奇置換，則sngP=－1），表示在所有1,2,．．．,n的所有n！

 

置換上的和。

 

A的行列式記為(方程式2)，亦可記為|aik|或|A|或detA。

 

行列式有下列幾個基本性質：一、一個矩陣A的行列式等於其轉置矩陣（Transpose）的行列式；

 

二、若矩陣的一列（行）乘上一數C，則此矩陣的行列式為原矩陣行列式的C倍。

 

若一矩陣的一列（行）皆為零，則其行列式為零；

 

三、若AQ是由將矩陣A之列（行）作一置換Q而得的矩陣，則detAQ＝（sgnQ）detA。

 

因此若一矩陣的兩列（行）互相調換，則所得矩陣之行列式，與原矩陣行列式異號；

 

四、若一矩陣的一列（行）元素乘上一數並加到好一列（行），其行列式不變。

 

令A＝（aik）及B＝（bik）為兩n階矩陣，則AB的乘積為一矩陣AB＝C＝（cik），cik=(方程式3)（i，k=1，…，n）。

 

det（AB）=（detA）（detB）。

 

A之反矩陣A－1存在若且唯若detA＝0。

 

而A－1=（bik），bik=ãki/detA，ãki=（－1）1＋k△ki，△ki為將矩陣A的第k列及第i行去掉之（n－1）階矩陣的行列式。

 

ãik稱為aki之餘因式（Cofactor）。

 

矩陣（ãki）之行列式det（ãki）=（det[aki]n－1）。

 

（林正英）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=10199