【中華百科全書●科學●向量】

楊籍富

【中華百科全書●科學●向量】

 

向量就是有方向的量，例如物理中之速度，不僅有大小，而且有方向，故為向量。

 

同理加速度、位移與力等均為向量。

 

在幾何上，只要規定線段之方向即得向量；

 

換言之，向量可用有向線段表示之。

 

今設線段之兩端點為P、Q，自P至Q方向為其正向，則得一有向線段，記此有向線段為？

 

，稱之為以P為起點。

 

以Q為終點之向量。

 

若P、Q兩點重合，則稱？

 

為零向量。

 

顯見零向量無固定之方向，為便於運算計，常規定其與所給之向量垂直。

 

在平面上取定一個坐標系，在此坐標系中，若(方程式1)則向量？

 

由二點之坐標差y1－x1，y2－x2唯一決定。

 

因而可記作(方程式2)（1）令y1－x1＝a1，再記y2－x2＝a2，則（1）可書為(方程式3)（2）若一向量之起點為原點，則稱之為位置向量，若一向量之長度為1，則稱之為單位向量。

 

設沿x軸正向之單位向量為？

 

沿ｙ軸正向之位向量為？

 

且均為位置向量。

 

見附圖(圖1)，則（2）又可書為(方程式4)（3）稱？

 

為平面上標準正交基。

 

又由附圖(見圖1)易知？

 

在ｘ軸上之分量為a1，在ｙ軸上之分量為a2，今記？

 

之長為？

 

則由勾股弦定理得(方程式5)（4）記號？

 

亦稱為？

 

之絕對值。

 

再由附圖易得(方程式6)（5）稱（5）中之cosα1，cosα2，為？

 

之方向餘弦。

 

由此可知，向量？

 

之大小由（4）決定，而其方向由（5）決定。

 

設c為實數，(方程式7)，(方程式8)則由幾何圖形可以導出其適合下列之線性運算：(方程式9)上述之事實，很容易擴充到空間中。

 

設(方程式10)為空間中事先取定之一組標準正交基，通常取(方程式11)。

 

若向量？

 

在此組基上之分量各為a1，a2，a3，則(方程式12)（6）今設？

 

與？

 

之夾角為αi，則(方程式13)。

 

故？

 

在？

 

上之分量乃由？

 

之方向餘弦決定之。

 

因而視所取之標準正交基不同，？

 

在該基上之分量亦隨之而異。

 

今取另一組基為？

並設？

 

在此組基上之分量為(方程式14)，則(方程式15)（7）由立體幾何易知（6）與生俱來（7）適合下列之變換方程式：(方程式16)（8）式中cij為？

 

與？

 

間夾角之餘弦。

 

應用性質（8）以定義向量，比較容易推廣至ｎ維空間（n？2）。

 

在計算上常用行矩陣或列矩陣以表向量，即視其分量為矩陣中之元素，例如：(方程式17)則（8）可書為(方程式18)（9）（9）顯較（8）簡便，其中C為３×３矩陣，即(方程式19)向量之數積：設(方程式20)則稱(方程式21)（10）為？

 

之數積，由此定義可得下列各性質：一、(方程式22)二、(方程式23)三、(方程式24)四、(方程式25)五、(方程式26)六、(方程式27)以上各性質之證明甚易，故證明從略。

 

向量之向量積：設(方程式28)則稱(方程式29)（11）為？

 

之向量積。

 

便為於記憶，（11）式亦可書為(方程式30)（12）由（11）或（12）很易導出下列各性質：一、(方程式31)二、(方程式32)三、(方程式33)四、(方程式34)(方程式35)五、(方程式36)六、(方程式37)其中θ為？

 

與？

 

之夾角，顯見？

 

與？

 

之向量積仍為向量，其大小為由？

 

形成之平行四邊形之面積，而其方向乃按右手律由？

 

抓到？

 

拇指之正向。

 

向量函數之微分與積分：設(方程式38)（13）則稱？

 

為向量質函數，簡稱為向量函數。

 

若fi（t）可微或可積，則？

 

亦可微或可積。

 

且(方程式39)（14）(方程式40)（15）由（14）與（15）可得下列諸公式，證明從略：一、(方程式41)二、(方程式42)三、(方程式43)四、(方程式44)五、(方程式45)六、(方程式46)七、(方程式47)八、(方程式48)九、(方程式49)（夏文侯）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=10180