【中華百科全書●科學●偏微分方程式】

楊籍富

【中華百科全書●科學●偏微分方程式】

 

形如F(x1,x2,…xn,z,zx1,…zx1x1,zx1x2…)=0的函數方程式稱為偏微分方程式；

 

其中z為獨立變數x1,…xn的函數，zx1,…zx1x2,…為偏導數。

 

上式中最高階偏導數的次數稱為此偏微分方程式的階數。

 

若上式對x1,…xn及z為線性關係時，則稱為線性偏微分方程式。

 

否則即稱為非線性方程式。

 

若z=φ(x1,…xn)滿足上列方程式時，則稱z為該方程式的解。

 

偏微分方程式的討論，通常都伴隨自然的條件，如邊界值、初始值，或兩者兼而有之。

 

許多有關物理、工程的偏微分方程的問題都是正確表陳的；

 

即存在唯一的解而且解依附帶條件（或資料）呈連續變化。

 

這些問題包括：一、橢圓型方程：如拉卜拉斯方程Uxx Uyy=0，伴隨邊界值條件。

 

二、雙曲型方程：如波動方程Utt-Uxx=0，伴隨初始值或混合邊界及初始值條件。

 

三、拋物型方程：如熱傳導方程Ut-Uxx=0，伴隨初始值或混合邊界及初始值條件。

 

關於線性二階偏微分方程式，我們可依坐標變換及慣量指數區分為橢圓型、雙曲型或拋物型方程式。

 

一、偏微分方程式（見方程式1），在二次形式（見方程式2）為正定時稱為橢圓型方程。

 

在有界域G內要求Lu=f，而在邊界τ上要求取零值時稱為第一邊界值問題或狄里格里問題。

 

當c（x）<0時，我們可證明解的唯一性。

 

關於存在性，蕭得首先在適當的係數條件下加以證明。

 

並且下述備擇原理成立：即Lu=f有唯一解或Lu=0有有限個解。

 

其他關於第二、三邊界值問題，亦有類似的結論。

 

二、線性二階方程式L(u)=（見方程式3）若其特徵方程（見方程式4），恆有二實根λ1，λ2，則L稱為雙曲型方程。

 

若λ1，λ2，均勻相離時，則稱L為正則雙曲型。

 

此種方程的柯西問題是正確表陳的。

 

關於解的表現有黎曼的方法。

 

三、二階拋物型方程常見的型式為u/t=Au；

 

其中A為橢圓型。

 

在混合初始及邊界條件下，存在唯一的解。

 

此類問題與半理論及機率論有密切關係。

 

四、如果偏微分方程式在考慮區域內改變型態，則稱為混合型。

 

這類方程如氣體動力學裏的查布里金方程、狄里谷米方程，多已有相當基礎的理論了。

 

在近世的討論裏，往往拋開古典型而特徵化某些性質的偏微分方程式；

 

如超橢圓型即有關古典橢圓及拋物型的性質。

 

這方面還有基本解之存在性、局部解之存在性、解的延宕、解的微分及解析性，以及平滑性之傳播等。

 

關於解之局部存在性，我們特別提醒在解析條件下，柯西－可娃拉斯基的肯定結果以及在非解析條件下，李維的反例。

 

（張秋俊）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=10146