【中華百科全書●科學●連續函數】

楊籍富

【中華百科全書●科學●連續函數】

 

在數學分析中，「連續性」是一個重要的概念。

 

由一位相空間(TopologicalSpace)至另一個位相空間之映射之連續性，可依位相空間之「位相」這個概念來定義。

 

但位相空間中最常見、最具習用者是度量空間(MetricSpace)。

 

我們在此只引介度量空間之間的映射(或函數)之連續性。

 

給定(非空的)集合X，具有下列性質的函數ρ:X×X→R,(x,y)→ρ(x,y)稱為X之距離函數(DistanceFuction)或度量(Metrix)。

 

對所有x,y,zX，一、ρ(x,y)0；

 

二、ρ(x,y)=0當且只當x=y;三、ρ(x,y)=ρ(y,x);四、ρ(x,y)ρ(x,z) ρ(z,y)。

 

若ρ為X之距離函數，x,yX，稱ρ(x,y)為x與y之間的距離。

 

例如，若X＝R(所有實數所成的集合)，對所有x，yX，令ρ(x,y)=|x-y|，則ρ為R之一個距離函數；

 

若X=Rn(n維實歐式空間)，n為正整數，對Rn之任何兩個元素?

 

、?

 

，若（見方程式1），（見方程式2）令（見方程式3），則ρ為Rn之一距離函數。

 

具有一距離函數ρ的(非空)集合X，稱為一距離空間，用(X,ρ)表示，有時也簡記作X。

 

給定兩個距離空間(X，ρ)與(Y，d)之一映射f：X→Y，我們可制訂f之連續性如下：f在點x0X連續(Continuousatx0X)，當且只當：對每個ε＞O，可有一個δ＞O使得對所有的x，ρ(x，xο)＜δ則d(f(x)，f(xο))＜ε，在此δ是由所給的xο與ε決定的，δ不是唯一的(我們可以選定有多個δ使下列涵蘊ρ(x，xο)＜δd(f(x)，f(xο))＜ε成立)。

 

換言之，若X趨近xο，則f(x)趨近f(xo)。

 

我們稱f在X連續當且只當f在X之每點xο連續。

 

連續函數具有下列運算上的性質：一、若X，Y，Z都是距離空閒，f：X→Y與g：Y→Z都是連續的映射(函數)，則g。

 

f：X→Z，g。

 

f：x→g(f(x))是連續的。

 

二、若X是距離空間，f，g：X→R都是連續的，則f±g：X→R(f±g：x→f(x)±g(x)與fg：X→R(fg：x→f(x)g(x))都是連續的。

 

三、若X是距離空閒，f，g：X→R都是連續的，g(x)≠0，則f∕g：X→R（見方程式4）是連續的。

 

例如，設i，n為正整數，1≦i≦n，令Pi：Rn→R，(x1,x2,…,xn)→xiPi把Rn之點(x1,x2,…,xn)映成其第i坐標分量，則Pi是連續的。

 

令T為一距離空間，XT,g：X→Rn(g：t→(g1(t),g2(t),…,gn(t))稱函數gi：t→gi(t)(1in)為g之第i分項函數。

 

gi之定義域為X，gi＝Pi。

 

g(Pi與g複合函數)。

 

不難驗證下列結果：g是連續的每個gi是連續的(1≦i≦n)。

 

有時候我們在處理實數值函數在某一點附近之性質時，我們通常應用單向連續性(One-SidedContinuity´)這一概念。

 

設x0X＝R，我們制訂下列定義：若C為實數（方程式5）（或方程式6當且只當：對任何ε>0，有δ>0使得：00，有δ>0使得：00，有一δ>0使得對所有x,yX,ρ(x,y)<δd(f(x),f(y))<ε，注意，δ與x、y無關。

 

我們有下列重要結果：六、若f：[a，b]→R是連續的，則f在[a，b]均勻連續。

 

我們可把上述性質一至六推廣到連續函數f：X→Y，在此，X為Rn之子集，或為一度量空間之非空子集；

 

或為一位相空間，Y=R。

 

但這種推廣，必須藉助於許多基本的位相概念(TopologicalConcept)。

 

在初等微積分學中，一至六即足夠應用。

 

（洪成完）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=10122