【中華百科全書●哲學●數理邏輯】

楊籍富

【中華百科全書●哲學●數理邏輯】

 

數理邏輯（MathematicalLogic），又稱符號邏輯（SymbolicLogic），它是用一套形式化的邏輯語言（例如命題演算系統和述詞演算系統）來處理形式邏輯的學問。

 

此種形式化邏輯語言之採用，旨在避免一般自然語言含混不精確之弊，及其所引起之邏輯上的毛病。

 

而所謂形式邏輯旨在探討命題（Propositions）的結構以及演繹推論，所用的方法是把諸命題的內容拋開，只抽象地考慮它們的邏輯形式。

 

數理邏輯的系統之建立可分兩大部分，一部分是純粹形式的建構，另一部分是語意的解釋。

 

後者可以不必有，不過為了與日常生活相配合，邏輯家們通常都會賦與各種的語意解釋。

 

形式建構的部分必須包含底下六部分：一、一組原始符號（PrimitiveSymbols）。

 

二、一組形構規則（FormationRules），規定一串由原始符號所組成的序列（有限個）是否為一句式（Formula）。

 

三、規定什麼叫做證明（Proof）和定理（Theorems）。

 

四、規定在什麼情況下，某一句式是另一組句式的歸結（Consequence）。

 

亦即要規定何謂有效的推論（ValidInference）。

 

例如，設B是A1,A2…,An這組句式的歸結，則我們說從前提A1,A2…,An到結論B的推論是一有效推論。

 

為了得到上述三和四，我們須借助於底下兩點。

 

五、一組原始句式（primitiveFormulas）或稱之為公設（Axioms）。

 

這是就公設化邏輯系統而言，如是自然演繹（NaturalDeduction）的系統，即無此項需求。

 

六、一組原始的推論規則（PrimitiveRulesofInference）。

 

每一條規則都規定在什麼情況下，句式B是句式A1,A2…,An的直接歸結。

 

據此，所謂證明是指一組句式，它的每一個句式或者就是原始句式，或者是根據某一條原始推論規則，從其前面的句式直接得來的歸結。

 

以上是純粹形式建構所需要的，至於語意的解釋，比如說，有些（或所有）句式意指命題，而定理表示真的命題；

 

至於證明和有效的推論也表現了通常意義的證明和有效的推論等等。

 

因此，同一個形式系統可以有不同的語意解釋。

 

以下我們將據此建立命題演算系統，作為邏輯系統的範例。

 

一、它是將語句連詞「或者」、「而且」、「並非」和「若…則…」形式化的系統。

 

形式化後的符號系統，各人的用法均稍有不同，在此只採用一種以便解說。

 

我們約定以「」、「－」、「」為原始符號。

 

（PQ）意指「P而且Q」，（PQ）意指「P或Q或P與Q兩者」，「－P」意指「並非P」；

 

其餘定義如下：（P→Q）意指「並非P或Q」（－PQ），（PnQ）意指「若P則Q而且若Q則P」〔P→Q〕〔Q→P〕。

 

二、我們的形構規則有四條：（一）凡P、Q、R等命題變元（PropositionalVariables）所組成的基本命題符號皆是句式。

 

（二）若A為句式，則－A為一句式。

 

（三）若A及B皆為句式，則（AB）亦為一句式。

 

（四）若A及B皆是句式，則（AB）也是句式。

 

以上之A、B等為後設變元（Meta-Variables），其餘的條件號「→」以及雙條件號「n」所結合成的式子，將視為原來完全的句式的縮寫。

 

三、我們的原始句式（PrimitiveFormulas）共有七個。

 

設A、B和C代表任意三個句式。

 

則（一）「AA→A」；

 

（二）「A→（B→（AB））」；

 

（三）「A→（AB）」；

 

（四）「（AB）→A」；

 

（五）「（AB）→（BA）」；

 

（六）「（AB）→B」；

 

（七）「（A→B）→〔（CA）→（CB）〕」。

 

我們的原始推論規則為正前律（ModusPonnedoPonens），即：已知A及A→B，我們可導出B。

 

凡能從原始句式，經連續應用原始推演規則而導出來的句式都稱之為定理，換言之：1.凡原始句式皆為定理；

 

2.若A及A→B皆為定理，則B也為定理。

 

吾人稱從前提A1,A2…,An到結論B的推論，為命題演算系統中的一個有效推論，若且唯若當我們把A1,A2…,An加入原始句式之行列時B可變成一個定理。

 

換言之，1.當B為一原始句式或B為A1,A2…,An中的一句式時，從A1,…,An到B的推論為有效推論，2.當從A1,…,An到C→B之推論皆為有效推論時，從A1,…,An到B之推論也為有效推論。

 

最後，為了輔助原始推論規則，通常都增加了一條原始推論規則，稱之為取代規則（RuleofSubstitution），當吾人將任一句式B取代任一句式A中的某一變元的所有出現而得到一新句式C時，取代規則允許我們從A推到C。

 

此時定理的定義維持不變，只是原始推演規則變成兩個；

 

至於有效推論的定義，則要隨著稍作變動。

 

完成上述系統後，我們尚須證明其一致性（Consistency）及完備性（Completeness）。

 

前者指：若任一句式A為該系統之定理，則A之否定式就不是定理；

 

後者是指：若句式A不是該系統之定理，則把它加到原始句武的行列之中時，我們可依上述兩推論規則來證明該系統會導致矛盾，而變成不一致。

 

至於述詞演算系統，則除了以建構外，尚有許多更細膩更複雜的設計和理論。

 

基本上，它所處理的是像（x）（FxGx）,（$x）（FxGx）之類的語句。

 

前者意謂：任何x，若x具有性質F，則x就具有性質G。

 

後者謂：有一x存在，使得x具有性質F和性質G。

 

我們可藉此類符號工具，來處理一些更精細的邏輯問題，例如，含等同號的演算、確定描述詞（DefiniteDescriptions）之處理、類的代數（AlgebraofClasses）、關係的代數（AlgebraofRelations）、類型論（TheoryofTypes）集合論、遞歸函數論等等。

 

以上這些數理邏輯的研究最早可追溯至萊布尼茲（Leibnitz）、朗伯特（J.H.Lambert）等人。

 

不過，它的真正開端當是西元十九世紀的邏輯代數（AlgebraofLogic），以後經弗銳格（Frege）、皮阿諾（Peano）、羅素（Russell）、希爾伯特（Hilbert）等人的改進，數理邏輯復取得今日的地位。

 

羅素和懷德海（A.Whitehead）的「數學原理」（PrincipiaMathematica）一書是數理邏輯發展史上的里程碑。

 

（黃慶明）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=9146