【算學啟蒙總括】

我本善良

【算學啟蒙總括】

 

（元）朱世傑撰

 

朱世傑

 

朱世傑字漢卿，號松庭．北京附近人．生卒年不詳，生活於13—14世紀．數學．

 

關於朱世傑的生平，流傳下來的資料甚少，僅能從趙城、莫若、祖頤等人為他的著作《算學啟蒙》和《四元玉鑒》所寫的序言中找到一些線索．這些序言均稱“燕山松庭朱君”、“燕山朱漢卿先生”．

 

在《四元玉鑒》每卷之首也均署名為“寓燕松庭朱世傑漢卿編述”，可見他的籍貫當在現在的北京或其附近．

 

莫若序中有“燕山松庭朱先生以數學名家周遊湖海二十餘年矣．四方之來學者日眾，先生遂發明《九章》之妙，以淑後學，為書三卷……名曰《四元玉鑒》”，祖頤後序中亦有“漢卿，名世傑，松庭其自號也．周流四方，複遊廣陵，踵門而學者雲集……．”

 

這兩篇序均寫於元大德七年(1303)，以莫若序中所說的“以數學名家周遊湖海二十餘年矣”來推算，朱世傑從事數學教學和數學研究的年代當在13世紀末和14世紀初．

 

1234年蒙古聯宋滅金之後，又經過40餘年，至1276年才攻佔了南宋的都城臨安，1279年南宋滅亡．

 

朱世傑的青少年時代，大約相當於蒙古滅金之後．

 

但早在滅金之前，蒙古軍隊便已攻佔了金的中都(今北京，是1215年攻佔的)．

 

元世祖忽必烈繼位之後，為便於對中原地區的攻略，便遷都於此地，改稱燕京，後又改稱為大都．

 

到13世紀60年代，燕京不只是重要的政治中心，同時也是重要的文化中心．

 

忽必烈為了鞏固元朝的統治，網羅了一大批漢族的知識份子作為智囊團．

 

其中有以編制《授時曆》聞名的王恂(1235-1281)、郭守敬(1231—1316)以及編制曆法的宣導者和主持者劉秉忠(1216—1274)、張文謙(1216—1283)、許衡(1209—1281)等人．

 

這個集團中的人物，對數學和曆法都很精通．他們未入朝之前，曾隱居于河北南部的武安紫金山中．受到忽必烈禮聘的，還有李治(1192—1279)，他也是一位著名的數學家．

 

就當時的數學發展情況而論，在13世紀中葉，在河北南部和山西南部地區，出現了一個以“天元術”(一種帶有中國古代數學特點的代數學)為代表的數學研究中心．

 

按祖頤在“《四元玉鑒》後序”中敍述天元術發展情況時所說：“平陽(今山西臨汾)蔣周撰《益古》，博陸(今河北蠡縣)李文一撰《照膽》，鹿泉(今河北獲鹿)石通道撰《鈐經》，平水(今山西新絳)劉汝諧撰《如積釋鎖》，絳人(今山西新絳)元裕細草之，後人始知有天元也．

 

平陽李德載因撰《兩儀群英集臻》兼有地元，霍山(今山西臨汾)邢先生頌不高弟劉大鑒潤夫撰《乾坤括囊》末僅有人元二問吾友燕山朱漢卿先生演數有年，探三才之賾，索《九章》之隱，按天地人物成立四元……．”這段序文敍述出朱世傑學術上的師承關係．

 

毫無疑問，他較好地繼承了當時北方數學的主要成就．當時的北方，正處於天元術逐漸發 展成為二元、三元術的重要時期，正是朱世傑把這一成就拓展為四元術的．

朱世傑除繼承和發展了北方的數學成就之外，還吸收了當時南方的數學成就——各種日用、商用數學和口訣、歌訣等．

 

本來，在元滅南宋之前，南北之間的數學交流是比較少的．

 

朱世傑“周流四方，複遊廣陵(今揚州)”應是在1276年元軍對南宋的大規模軍事行動結束之後．

 

朱世傑在經過長期遊學、講學之後，終於在1299年和1303年在揚州刊刻了他的兩部數學著作——《算學啟蒙》和《四元玉鑒》．

 

隋唐以來，中原地區經濟中心和文化中心逐漸南移．

 

長江中下游一帶，五代十國時期就比較穩定，北宋時期也有較大發展．

 

隨著金兵入侵和宋王朝的南遷，江南地區的農業、手工業、商業和城市建設等都有較大發展．

 

在這樣的社會條件下，中國數學中自晚唐以來不斷發展的簡化籌算的趨勢有了進一步的發展，日用數學和商用數學更加普及．

 

南宋時楊輝的著作可以作為這一傾向的代表，而朱世傑所著的《算學啟蒙》，則是這一傾向的繼承和發展．

 

當然，以所取得的成就而論，《四元玉鑒》是遠超《算學啟蒙》的．

 

清代羅士琳在評論朱世傑的數學成就時說：“漢卿在宋元間，與秦道古(九韶)、李仁卿(冶)可稱鼎足而三．

 

道古正負開方，仁卿天元如積，皆足上下千古，漢卿又兼包眾有，充類儘量，神而明之，尤超越乎秦李之上”(羅士琳編《疇人傳•續編•朱世傑條》)．

 

清代另一位數學家王鑒也說：“朱松庭先生兼秦李之所長，成一家之著作”(王鑒《算學啟蒙述義•自序》)．

 

此外，朱世傑還繼承發展了日用、商用數學．

 

由此可見，朱世傑可以被看作是中國宋元時期數學發展的總結性人物，是宋元數學的代表，是中國以籌算為主要計算工具的古代數學發展的預峰．

 

朱世傑的數學著作，如前所述，有《算學啟蒙》、《四元玉鑒》二種，下面略加評介．

引用：http://www.ourartnet.com/Sikuquanshu/Ziku/Ke_ji/Ke_ji007.asp

我本善良

【釋九數法】

 

—一如一，一二如二，二二如四。一三如三，二三如六，三三如九。

 

一四如四，二四如八，三四一十二，四四一十六。

 

一五如五，二五一十，三五一十五，四五二十，五五二十五。

 

一六如六，二六一十二，三六一十八，四六二十四，五六三十，六六三十六。

 

一七如七，二七一十四，三七二十一，四七二十八，五七三十五，六七四十二，七七四十九。

 

一八如八，二八一十六，三八二十四，四八三十二，五八四十，六八四十八，七八五十六，八八六十四。

 

一九如九，二九一十八，三九二十七，四九三十六，五九四十五，六九五十四，七九六十三，八九七十二，九九八十一。

我本善良

【九歸除法】

 

一歸如一進，見一進成十。

 

二一添作五，逢二進成十。

 

三一三十一，三二六十二，逢三進成十。

 

四一二十二，四二添作五，四三七十二，逢四進成十。

 

五歸添一倍，逢五進成十。

 

六一下加四，六二三十二，六三添作五，六四六十四，六五八十二，逢六進成十。

 

七一下加三，七二下加六，七三四十二，七四五十五，七五七十一，七六八十四，逢七進成十。

 

八一下加二，八二下加四，八三下加六，八四添作五，八五六十二，八六七十四，八七八十六，逢八進成十。

 

九歸隨身下，逢九進成十。

我本善良

【斤下留法】

 

一退六二五，二留一二五，三留一八七五，四留二五，五留三一二五，六留三七五，七留四三七五，八留單五，九留五六二五，十留六二五，十一留六八七五，十二留七五，十三留八一二五，十四留八七五，十五留九三七五。

我本善良

【明縱橫訣】

 

一縱十橫，百立千僵。

 

千十相望，萬百相當。

 

滿六已上，五在上方。

 

六不積聚，五不單張。

 

言十自過，不滿自當。

 

若明此訣，可習「九章」。

我本善良

【大數之類】

 

一、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬，萬萬曰億，萬萬億曰兆，萬萬兆曰京，萬萬京曰陔，萬萬陔曰秭，萬萬秭曰壤，萬萬壤曰溝，萬萬溝曰澗，萬萬澗曰正，萬萬正曰載，萬萬載曰極，萬萬極曰恆河沙，萬萬恆河沙曰阿僧祗，萬萬阿僧祗曰那由他，萬萬那由他曰不可思議，萬萬不可思議曰無量數。

我本善良

【小數之類】

 

一、分、厘、毫、絲、忽、微、纖、沙。

 

萬萬塵曰沙，萬萬埃曰塵，萬萬渺曰埃，萬萬漠曰渺，萬萬模糊曰漠，萬萬逡巡曰模糊，萬萬須臾曰逡巡，萬萬瞬息曰須臾，萬萬彈指曰瞬息，萬萬剎那曰彈指，萬萬六德曰剎那，萬萬虛曰六德，萬萬空曰虛，萬萬清曰空，萬萬凈曰清。

 

千萬凈，百萬凈，十萬凈，萬凈，千凈，百凈，十凈，一凈。

我本善良

【求諸率類】

 

兩求銖二十四乘，銖求兩二十四除。

 

斤求兩身外加六，兩求斤身外減六。

 

秤求斤身外加五，斤求秤身外減五。

 

據物賣錢而用乘，據錢買物而用除。

我本善良

【斛鬥起率】

 

量起於圭，十圭謂之一撮，十撮謂之一抄，十抄謂之一勺，十勺謂之一合，十合謂之一升，十升謂之一鬥，十鬥謂之一斛。

我本善良

【斤秤起率】

 

衡起於黍。

 

十黍謂之一絫，十絫謂之一銖，六銖謂之一分，四分謂之一兩，十六兩謂之一斤，十五斤謂之一秤，三十斤謂之一鈞，四鈞謂之一碩。

我本善良

【端匹起率】

 

度起於忽。

 

十忽謂之一絲，十絲謂之一毫，十毫謂之一厘，十厘謂之一分，十分謂之一寸，十寸謂之一尺，十尺謂之一丈。

 

匹率。

 

端率。

我本善良

【田畝起率】

 

田起於忽。

 

十忽謂之一絲，十絲謂之一毫，十毫謂之一厘，十厘謂之一分，十分謂之一畝，百畝謂之一頃。

 

三百步謂之一裏。

我本善良

【古法圓率】

 

周三尺，徑一尺。

我本善良

【劉徽新術】

 

周一百五十七尺，徑五十尺。

 

沖之密率

 

周二十二尺，徑七尺。

 

明異名訣

 

二分之一為中半，三分之一為少半，三分之二為太半，四分之一為弱半，四分之三為強半。

 

明正負術

 

其同名相減，則異名相加；正無入負之，負無入正之。

 

其異名相減，則同名相加；正無入正之，負無入負之。

 

明乘除段

 

長平相並曰和，長平相減曰較。

 

長平相乘曰積，自相稱之曰冪。

 

同名相乘曰正，異名相乘為負。

 

平除長為小長，長除平為小平。

 

小長平相並曰小和，小長平相減余小較，小長平相乘得一步為小積。

 

明開方法

 

置積為實，及方廉隅，同加異減開之。

 

縱橫因法

 

此法從來向上因，但言十者過其身，呼如本位須當作，知算縱橫數目真。

 

身外加法

 

算中加法最堪誇，言十之時就位加，但遇呼如身下列，君從法式定無差。

 

留頭乘法

 

留頭乘法別規模，起首先從次位呼，言十靠身如隔位，通臨頭位破身鋪。

 

身外減法

 

減法根源必要知，即同求—一般推，呼如身下須當減，言十從身本位除。

 

九歸除法門

 

實少法多從法歸，實多滿法進前居。

 

常存除數專心記，法實相停九十餘。

 

但遇無除還頭位，然將釋九數呼除。

 

流傳故泄真消息，求一穿韜總不如。

我本善良

發表完畢。