【中華百科全書●科學●特殊函數】

楊籍富

【中華百科全書●科學●特殊函數】

 

特殊函數又稱為高等超越函數，在數學分析與理論物理中扮演著極為重要的腳色。

 

大體上，可分為如下四大類：一、Gamma函數與其相關函數函數(見方程式1)，稱為Gamma函數，為一解析函數。

 

此函數滿足Γ（x＋1）＝xΓ（x）的關係，因此當n為正整數時，則有Γ（n）＝（n－1）！

 

另外，Gamma函數亦可表成如下的無窮積：見方程式2其中γ為Euler常數。

 

如將上式中的積分上、下限分別取代為λ，則得見方程式3見方程式4合稱為不完全Gamma函數，這些函數通常用在統計學與分子結構學等科學上。

 

函數(見方程式5),Rex＞0,Rey＞0,稱為Beta函數，為x,y的解析函數，此函數與Gamma函數有如下的關係：(見方程式6)如將上式的積分上限取代為α，則得見方程式7稱為不完全Beta函數。

 

二、可用初等函數之不定積分表成的特殊函數函數(見方程式8)與(見方程式9)分別稱為Fresnel正弦積分與Fresnel餘弦積分，這些函數原出現在波繞射論上，近年來亦被應用在高速公路的設計上。

 

函數(方程式10),(方程式11),(方程式12),(方程式13)，以及(方程式14),分別為對數積分、指數積分、正弦積分、餘弦積分，以及機率積分（或誤差函數）。

 

這些函數各有其重要的應用，Eix用在量子力學，Six與Cix用在電子工程，以及Lix用在估計質數的個數。

 

三、橢圓函數從歷史觀點來看，橢圓函數的意義原用來作為橢圓積分的反函數，但近代數學家已了解到橢圓函數，即為具有雙週期的半純函數。

 

設f（u）為單複變函數，若存在非為零之複數ω使得對一切複數u，均有f（u＋ω）＝f（u），則ω稱為f（u）的週期，而f（u）稱為週期函數。

 

f（u）的所有週期形成一個加法群P，若P具有基底，ω1,…,ωn,則ω1,…,ωn合稱為f（u）的基本週期。

 

具有兩個基本週期的函數，稱為雙週期函數。

 

而一個雙週期的半純函數，則稱為橢圓函數，茲例說明如下：（一）Jacobi橢圓函數C.G.Jacobi定義函數z＝sn(u,k)為第一類橢圓積分見方程式15的反函數，並定函數z＝cn(u,k),z＝dn(u,k)為滿足下列諸式的函數：sn2u＋cn2u＝1,k2sn2u＋dn2u＝1,且cn(0)＝dn(0)＝1。

 

Snu,cnu,dnu均為橢圓函數，其週期分別為(4K,2iK')、(4K,2K＋2iK')、(2K,4iK')，其中見方程式16見方程式17又(見方程式18),(見方程式19)（二）Weierstrass橢圓函數K.Weierstrass定義(方程式20)當作最簡單的橢圓函數，其中Ω＝2mω1＋2nω2，ω1與ω2為複數，m與n為整數，而連加號'表示取一切m、n不同時為零的和式。

 

此橢圓函數稱為WeierstrassP-函數，其週期為（2ω1,2ω2），並滿足微分方程(P'(u))2＝4(P(u))3－g2P(u)－g3＝4(P(u)－e1)(P(u)－e2)(P(u)－e3),其中g2＝60'1/Ω4,g3＝140'1/Ω6,e1＝P(ω1),e2＝P(-ω1,-ω2),e3＝P(ω2)。

 

由上面的微分方程，可知P-函數為橢圓積分(見方程式21)的反函數。

 

一般的橢圓函數均可表成P'(u)與P(u)之有理式的乘機。

 

又P(u)與sn(u)有如下的關係：見方程式22四、微分方程的解通常是只在各種曲線座標中，由分離偏微分方程（如Laplace方程）時，所導出的二階線性微分方程的解而言。

 

此類解又可按照微分方程之奇異點的數量與特性，分成如下三型。

 

至於奇異點的數量，少於此三型所描述之微分方程的解，則均可表成初等函數的積分。

 

（一）超幾何型的特殊函數是指具有三個正則奇異點的微分方程的解而言，如超幾何函數與Legendre函數等。

 

屬於此型的任何函數，均可經由一個簡單的變化成超幾何函數。

 

（二）合流行的特殊函數是指超幾何微分方程的兩個正則奇異點，合流而成第一類非正則奇異點時之微分方程的解而言，此型的函數均可用Whittaker函數表示之，例如Bessel函數，就是其中的一個特例。

 

又拋物柱面函數，即只具有一個第二類非正則奇異點∞之微分方程的解，亦可屬歸於此型。

 

（三）橢球型的特殊函數是指具有四個或五個正則奇異點之微分方程的解而言，其中的一些奇異點，可以合流成非正則奇異點。

 

例子方面有Lamé函數、Mathieu函數，以及球體波函數。

 

（何清人）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=9811