【中華百科全書●科學●布耳代數】

楊籍富

【中華百科全書●科學●布耳代數】

 

布耳代數(BooleanAlgebra)是一種邏輯代數，為喬治布耳(G.Boole，西元一八一五～一八六四年)繼萊普尼茨、棣摩根等人在數學邏輯上著有貢獻之後，於一八五四年出版的不朽名著「思考法則之研究」中，首先提出的。

 

到了一九一○年，在懷德海和羅素共著「數學原理」一書中，布耳代數就首次被認為是數學領域中的一大貢獻。

 

現今，布耳代數藉著在邏輯上的應用，已導致電子計算機、自動控制機等快速的發展，甚至在某些抽象數學結構的分析中，例如格(Lattice)，均已成為重要的工具之一。

 

布耳代數是一種集合L與兩種代數運算（稱為聯與交，分別表為?

 

與?）

 

定義在L×L上，同時符合下列之規定者：(1)（見方程式1）(交換律)，(2)（見方程式2、3）(結合律)(3)（見方程式4、5）(分配律)(4)（見方程式6）(吸收律)，(5)在L中存在有兩個元素，以O、I表之，使得（見方程式7），(6)（見方程式8），必存在（見方程式9）使得（見方程式10）(可補律)例如一集合X之所有子集合所成的集合L，其元素的x，y之對稱差定義為（見方程式11），若定義x（見方程式12），則L即成為一個布耳代數。

 

事實上，由上述布耳代數的定義中，可以得到如下的結果：(1)（見方程式13）(冪等律)(2)x'的存在性是唯一的，x'稱為x的餘，(3)二元運算(x,y)（見方程式14）與（見方程式15）統稱為布耳運算，這些運算都能滿足棣摩根定律(DeMorgan’sLaw)。

 

所以布耳運算與集合運算是互相對應的。

 

設L為一個布耳代數，在其上可以定義加法與乘法如下：（見方程式16）由此可以證明L是一種具有單位元的環，且滿足下述重要之事實：(1)x O=x，x．I=x，(2)（見方程式17）。

 

此外；

 

若定義（見方程式18）為（見方程式19），L可成為一個部分有序集合，（見方程式20）與（見方程式21）分別為元素ｘ，y之最小上界與最大下界。

 

顯然的，L有一個最小元素O與最大元素I，簡而言之，亦即（見方程式22）。

 

（李沖）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=9669