【中華百科全書●科學●正規函數】

楊籍富

【中華百科全書●科學●正規函數】

 

令f(z)為一複數函數，其定義域是在複數平面C的一個開集合(OpenSet)D上。

 

若極限（見方程式1)存在，則稱f(z)為在Z上可微分(Differentiable)，且f'(z)稱為f在z上的導函數（Derivative)。

 

若f在D上的每一點皆為可微分，則稱f在D上為正規函數(HolomorphicFunction)。

 

令E為任意一個非空集合，若f在一個包含E的開集合D上為正規函數，則稱f在E上為正規函數。

 

一個函數若在一點p上為正規，則其必在此點上為連續。

 

所有在D上為正規的函數形成一個環。

 

令f＝u iv為一定義在D上的一個複數函數，其中u、v為實數函數，則下列四種情形為等值：(1.)f在D上為正規函數。

 

(2.)u＝u(x,y)，v＝v(x,y)均在每一點z＝x iy為完全可微分(TotallyDifferentiable)，且滿足歌西－黎曼(Cauchy-Riemann)微分方程式（見方程式2)。

 

(3.)f在D上為解析函數(AnalyticFunction)。

 

(4.)若L為一有限週長的喬登曲線(JordanCurve)，且其內部包含於D內，則（見方程式3)。

 

由(1.)證明(4.)的定理稱為歌西積分定理(CauchyIntegralTheorem)，而由(4.)證明(1.)的定理稱為摩瑞拉定理（Morera’sTheorem)。

 

設f為一不恆為零的正規函數，若f(a)=0，則稱a為f的一個零點。

 

f的每一零點皆為一個孤立的零點，而且存在一個惟一的正整數k使得f(z)＝(z－a)kg(z)，g(a)≠0。

 

k稱為零點a的階，且稱a為k階的零點。

 

同時只f(z)的泰勒級數(Taylor’sSeries)是以Ck(z－a)k為起頭。

 

設a為f(z)－γ的一個k階零點，則稱a為k階的γ點。

 

對於一個定義在無限遠點附近的函數f，令g(w)=f(1/w)，如果g在0點上為正規，則稱f在∞點為正規。

 

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=9666