【中華百科全書●科學●正交函數】

楊籍富

【中華百科全書●科學●正交函數】

 

令(x,μ)為一測度空間(MeasureSpace)。

 

對於任意在函數空間L2(x)的複數函數f,g，定義f,g的內積(InnerProduct)為（見方程式1）。

 

若(f,g)＝0，則稱f與g為正交(Orthogonal)。

 

若x為歐氏空間的一部分，且μ為勒貝克測度(LebesqueMeasure)則僅稱f與g為正交。

 

若測度對於勒貝克測度m有一密度函數(DensityFunction)，則（見方程式2），並稱f與g為對於分量函數(WeightFunction)φ(x)為正交。

 

若(f,f)=1，則稱f為法化(Normalized)。

 

在一個函數所成的集合{fn(x)}(n=1,2,…)，若集合中的任意兩個不同函數均為正交，則稱此集合為一個正交系統(OrthogonalSystem)或正交集合，且以（見方程式3）記之。

 

正交集合{fn}中若每一個fn皆為法化，則稱為正交法化集合，且以（見方程式4）記之。

 

令{fn}為一線性無關的函數所成的集合，且令R為L2(x)的一都分集合。

 

若對於任一函數（見方程式5）可任意以一個fn的有限線性組合來逼近，則稱{fn}在R上其有完整性(Totality)。

 

若（見方程式6）且若(φ,fn)=0n=1,2,…，則在幾乎每一點上均為零，則稱{fn}為在L2(x)上其有完全性(Completeness)。

 

一個正交系統{fn}在L2(x)上具有完全性，若且惟若，此系統在L2(x)上其有完整性。

 

若（見方程式7），則稱級數（見方程式8）為正交級數。

 

若此級數為二階地平均趨近，則（見方程式9），並稱Cn為對{fn}的富氏係數(FourierCoefficients)。

 

若﹛gn﹜ÌL2(x)均為線性觸立，可由{gn}乙造出一正交法化的集合{fn}，且fn為{gn}匕的有限線性組合。

 

其方法如下：f1(x)=g1(x)/∥g1∥，fn(x)=ψn(x)/∥ψn∥，其中（見方程式10），n＞2。

 

上述的方法叫做克爾－施密特正交化法則(Gram-SchmidtOrthogonalization)。

 

其函數則稱為正交函數(OrthogonalFunction)。

 

﹝林正英）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=9665