【中華百科全書●科學●公設化集合論】

楊籍富

【中華百科全書●科學●公設化集合論】

 

一、樸素集合論集合論研究終極實在之性質(NatureofUltimateReality)，並為純數學提供一個根本的概念架構與一個制式語言。

 

依據集合論之創建者康托爾(G.Cantor)之說法：「一個集合是其有(一個)良好定義並可識別的所有對象之堆合(Collection)。」

 

我們自然有這種想法或觀念：依據古典邏輯之排中律，任何語言內的任何一個條件(或性質)可施用於任何一個所給的對象或元目(Entity)，或者不可施用於這種對象。

 

因此，給定任何條件φ(x)，合於這條件的所有對象成一個堆合，記作{x：φ(x)}。

 

對象X稱為這堆合之元素(成員)，依康托爾的想法，這個堆合就是一個集合。

 

「任何條件(或單元述詞或性質)有一範程，並且這個範程是合於這條件的所有對象之全體(堆合)，這是集合」，這種想法及支持這想法的論據叫做「樸素集合論」。

 

樸素集合論涉及兩個基本假設:(一)範程原理:兩個集合是相同的，而且只當這兩個含有相同的元素。

 

(二)抽離原理:給定一個定義條件(或條件)，恆有滿足這定義條件(或條件)的對象所成的集合。

 

抽離原理導致詭論(矛盾)，例如：「合於條件『x為其自身之元素』(見方程式1)的所有集合x所成的集合A」(A={x：（見方程式2）})，這一概念可產生矛盾：（見方程式3）當且只當(見方程式4)。

 

二、疊聚層級與集合之形成現代公設化集合論(AxiomaticSetTheory)就是為防止並避免各種集合的詭論，並為現代純數提供基本的制式語言與概念架構而興起的。

 

因此，公設化集合論之研究涉及數學基礎與數學哲學(FoundationsofMathematicsandPhilosophyofMathematics)。

 

除了古典邏輯之述詞演算(PredecateCalculus)外，集合論之各種公設(基本假設)可說是(多數)純數學推理必依遵的語言與憑據。

 

公設化集合論之構思，部分源自疊聚層級(CumulativeHierarchy)的想法，這想法為集合論中有關「集合之存在」提供直覺的依據。

 

我們先引介集合論的語言。

 

無元素又非集合的基本對象或元目叫做特殊元(Urelement)。

 

這個語言有下列五部分：(一)集合變元與特殊元變元，以x、y、z…表示。

 

(二)述詞:（見方程式5）。

 

(三)邏輯符號：(見方程式6)(從一般用法)。

 

(四)輔助符號：(，)、[，]。

 

(五)常元（見方程式7）指空集合(（見方程式8）即一般所說ψ)。

 

為引用邏輯公設與規則的方便，我們選擇(三)所列的邏輯符號：其實我們可選定{（見方程式9）}或{（見方程式10）}這兩組中的任何一組符號為邏輯符號。

 

選定之後就可選定邏輯公設與規則，由此可定義「句式」(Formula)或「集合論句式」(如同一般邏輯中所用者)，在此我們省略「集合論句式」之定義。

 

規約:若φ(X)是一個集合論句式或其縮寫(在後設語言內φ(X)表示一個條件)，並且x是φ(x)的自由變元，則{x：φ(x)}指合於條件φ(x)的所有對象x所成的堆合或類(Class)。

 

x為這堆合(類)之元素。

 

我們令（見方程式11）當且只當φ(y)（見方程式12）當且只當φ(y)定義：A、B、C、…x、y、z指堆合或類。

 

A=B表示（見方程式13）A?

 

B表示（見方程式14）A?

 

B表示（見方程式15）（見方程式16）（見方程式17）x≠y表示?

 

(x=y)（見方程式18）（見方程式19）（見方程式20）（見方程式21）（見方程式22）（見方程式23）現在可敘述疊聚府級的基本想法:一個集合是依據下列程序在其一個階段(Stage)，所形成的堆合：(一)在階段0(最原始的階段)有一個堆合，其元素為特殊元。

 

(我們也可設階段0的堆合為空集合（見方程式24），這是較合純數學之考慮)。

 

階段0的堆合記作C0。

 

(二)在階段1形成各種可能的堆合x，x之元素來自階段0的堆合C0或是一個特殊元，即（見方程式25），在此C1為在階段1形成的所有堆合。

 

(三)設在階段n，已得到Cn－所有在階段n得到的堆合所成的堆合，則在階段n l得到Cn 1，（見方程式26）。

 

(四)在階段0，1，2，3，n，…n l…完成之後有一新階段叫做階段ω；

 

若階段n比階段ω「早」，則有階段m在ω之「前」，m在n之「後」。

 

在階段ω所得到的所有堆合Cω滿足下列性質：（見方程式27）有n，n在ω之前，使得（見方程式28）。

 

(五)在階段ω之後，緊隨著另一階段ω 1，（見方程式29）。

 

(六)任何集合是由其元素唯一的決定，而這些元素在這個集合之形成之前已形成了。

 

(七)在一個Cα內，我們可形成Cα的任何一個子堆合X；

 

給定一個條(y)我件φ們可得到Cα的子類{（見方程式30）}。

 

(八)階段不終止。

 

(九)若階段βx所成的堆合{（見方程式31）}對應於集合a之各元素x，則此堆合可視為一個已形成的堆合。

 

上面(一)~(九)的說法，可圖示如下:若（見方程式32），則C1如圖陰影部分所得；

 

Cα 1又包含Cα。

 

當（見方程式33）時，上述疊層結構構成左邊V字形的字。

 

由此可導出下列結果：(1)（見方程式34）。

 

(2)字類不是集合，即{x：x=x}不是集合。

 

(3){（見方程式35）}不是集合。

 

(4)（見方程式36）（見方程式37）(5)（見方程式38）(6)（見方程式39）→往左邊走，表示?

 

的序列不終止。

 

三、公設化集合論之公設含有相同元素的集合是相同的；

 

因此設立A0範程公設(AxiomofExtensionality)（見方程式40）由疊聚層級的想法可導出有關「集合之存在」的公設：A1分離公設型(AxiomSchemaofSeparation)（見方程式41）注意：給定φ(y)，就有一個具有這種情形的公設。

 

A1代表無限多個公設(這些公設由φ(y)所決定)。

 

A2和集合公設(SumSetAxiom)：（見方程式42）A3冪集(權集)公設：（見方程式43）A4無窮公設(AxiomofInfinity)（見方程式44）A5正則公設(AxiomofRegularity，AxiomofFoundation)（見方程式45）A6配對公設(AxiomofPairing)（見方程式46）以上述七個基本假設A0-A6的集合論叫做哲米羅集合論(Zermelo’sSetTheory)，記作Z，這是哲米羅於西元一九○八年創建的。

 

這個集合論不足以建立集合論中有關序數、基數及超限歸納法、超限遞歸原理這些重要目的理論；

 

為了彌補這些缺項，弗朗克(A.Fraenkel)於一九二二年、斯可蘭(Th.Skolem)於一九二三年各自提出下列公設：A7置換公設型(AxiomSchemaofReplacement)：（見方程式47）[φ(x，y)是一個不含自由變元z的集合論句式或其縮寫]。

 

對不同的φ(x，y)，若φ(x，y)具有「函數」性質（見方程式48），則此公設型保證堆合（見方程式49）是一個集合。

 

集合論Z再附加置換公設型後成一個集合論，叫做哲米羅-弗朗克集合論(Zermelo-FraenkelSetTheory)，記作ZF。

 

在ZF內，由置換公設型可導出分離公設型。

 

在ZF內我們可有些方法判定類(堆合){x：φ(x)}是否為集合。

 

ZF所研究的基本對象是集合，馮諾衣曼(Von-Neumann)、伯爾內茲(Bernays)、以及葛德勒(Gödel)等人曾以集合與類為基本對象而發展出另一集合論，記作NBG或BG。

 

數學越進展，我們越需要一些原理，以建立有關某種特殊集合或特殊對象的存在定理。

 

這些原理都與下列公設等價(邏輯上具相同效力)：A8選擇公設(AxiomofChoice)：由非空集合xi所成的任何集合F(F={（見方程式50）})必有一個選擇函數f，即對F之每個元素xi，（見方程式51）。

 

令ZFC與NBGC各為ZF與NBG附加選擇公設後所得到的集合論。

 

這兩個集合論各可為純數學中的許多部門內提供推理上的憑據，因此成為純數學之重要架構與制式語言。

 

至於選用那一個系統，要依純數學家之淑好與選擇而定。

 

其實，對有關集合之論斷(命題)，這兩個系統有相同的效力。

 

公設化集合論自一九六四年以來，在基礎方面(包括後設數學、數學基礎及數學哲學各方面)有重大的進展，並富哲學上的深刻意義。

 

這一方面的論著，可參見專門期刊與著作。

 

（洪成完）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=9664