【中華百科全書●科學●皮阿諾公設】

楊籍富

【中華百科全書●科學●皮阿諾公設】

 

歐氏幾何與數論是純數學中最富直覺意義的兩部門。

 

要在穩固嚴密的基礎上重建數學，就必須塑造數論之基本假設。

 

西元一八七九年，德國數學家載淂金(Dedekind)首先以半公設化的形式陳述數論之基本公設，皮阿諾(Peano)則用符號邏輯的形式重新塑造這些公設，因此有「皮阿諾公設」之稱。

 

這些公設如下：(P1)0是一個自然數。

 

(P2)若x是一個自然數，則另有一個自然數X'(緊隨X之後)。

 

X'稱為X的直接繼數。

 

(P3)對任何自然數X，X'不是0(X'≠0)。

 

(P4)對任何自然數X與y，若X'=Y'，則X=Y。

 

(P5)[歸納原理]若P是一個性質(Property)，並且(i)0其有性質P；

 

(ii)若任何自然數X具有性質P：則X'具有性質P，則所有自然數其有性質P。

 

(P5)尚可推廣為：(P5)'若P(X，Y1，Y2，…，Yk)為自然數間的某一關係；

 

若(1)P(0，X，Y1，Y2，…，Yk)為真[或P(0，Y1，Y2，…，Yk)成立]；

 

若(2)對每個自然數X，P(X，Y1，Y2，…，Yk)為真，則P(X'，Y1，Y2，…，Yk)為真；

 

則對所有自然數X，P(X'，Y1，Y2，…，Yk)為真。

 

由假定P（X，Y1，Y2，…，Yk）而導出P(X，Y1，Y2，…，Yk)這一過程叫做「歸納步驟」(InductionStep')；

 

P(X'，Y1，Y2，…，Yk)這一假設叫做「歸納假設」(InductionHypothesis)；

 

P(0，X，Y1，Y2，…，Yk)這一陳述叫做「歸納基礎」(InductionBasis)。

 

若關係P含有自然數變元y1，y2…，yk，而在歸納步驟中這些y1均保持固定或視若固定之數，我們由歸納基礎與歸納步驟得到(歸納法的結論)「對所有自然數X，P(X，Y1，Y2，…，Yk)為真」。

 

這一證明稱為「使用歸納法於X」的證明。

 

由(P5)或(P5)'可導出下列「完全歸納原理」(PrincipleofCompleteInduc-tion)。

 

(P5)''給定任何自然數X，若：對所有自然數u，u

 

則對所有自然數X，P(x，y1，…，yk)為真。

 

歸納原理是數學推理中不可缺的基本原理之一。

 

我們可用初階語言重新塑造皮阿諾公設(P1)～(P5)，而以古典邏輯為根基而建構一個「形式數論」(FormalNumberTherory)或數論之形式系統(FormalSystem)。

 

形式數論與公設化集合論是當今數學基礎與數理邏輯這兩個學科之重要部門。

 

現代純數學中許多部門可藉這兩個理論重新塑造。

 

葛德勒（K．Gödel）與羅薩（J．B．Rosser）曾先後證明：一、形式數論是不全的，即此理論有一語句φ，φ及？

 

φ否定在此理論內不可能得到證明。

 

二、我們不可能藉形式數論內的機械的、有限性的方法來證明形式數論是一致的（沒有矛盾的）。

 

包含形式數論的任何公設化的理論（或公設系統，包括集合論在內）均其有這種「內在的限制」。

 

這些結果告訴我們：公設方法（Axiom-atization）不能窮盡所有數學真理；

 

所有計算機不能代替（具有創發假設及想像能力的）數學家的大腦。

 

（洪成完）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=9648