【中華百科全書●科學●皮卡定理】

楊籍富

【中華百科全書●科學●皮卡定理】

 

設f為一單值的複數解析函數，其定義域D在複數平面上。

 

如果f只可能有極點(Pole)的奇異點(SingularPoint)，則稱f為有理型函數(MeromorphicFunction)。

 

一個函數若在整個包含無限遠點的複數平面上為有理型，則必為有理函數(RationalFunction)，此為黎爾維爾(Liouville)定理。

 

如果一有理型函數f不為有理函數，便稱為有理型超越函數。

 

一個有理型函數可以以兩個全函數(EntireFunction)的商(Quotient)來表示。

 

令{Zk}(k=1,2,…)為f(z)的極點，且令fk(z)＝ank(k)/(z－zk)nk＋…＋a1(k)/(z－zk)表示f(z)在Zk上的奇異部分則f(z)亦可寫為f(z)＝g(z)＋（見方程式1），其中g(z)為一全函數且Pk(z)(k=1,2,…)均為有理全函數(RationalEntireFunction)，此即為衛爾史托拉斯定理(Weierstrass’Theorem)。

 

若f(z)為一有理型超越函數，則最多除了兩個複數外，對於任一複數α，f(z)=α有無窮個根，此定理便是皮卡定理(Picard’sTheorem)，所除外的兩個複數稱為皮卡特殊值(Picard’sExceptionalValues)。

 

一個全函數是一個複數函數，其在整個不包含無限遠點的複數平面上是正規。

 

若f(z)在無限遠點8有一極點，則f(z)為z的一個多項式。

 

一個多項式便稱為一個有理全函數。

 

如果一全函數是有界的話，其便為一個常數函數，此亦稱為黎爾維爾定理。

 

一個超越全函數為一不為多項式的全函數，例如exp(z)，sin(z)，cos(z)等等。

 

一個全函數可以以一多項式級數（見方程式2）表示，其收斂半徑為無限長。

 

若f(z)為一超越全函數，則此級數為無限項。

 

皮卡定理亦可敘述為對於一個超越全函數，最多除了一個複數以外，對於任一複數w，f(z)=w有無窮個根。

 

（林正英）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=9647