【中華百科全書●科學●廣義函數】

楊籍富

【中華百科全書●科學●廣義函數】

 

設D表示在n維歐氏空間Rn上具有緊緻臺且有無限多次可微分函數的全體，則D為一線性空間。

 

若函數列｛φn｝D收斂到φ，其意思是：各φn的臺含在一固定的緊緻集合K中，且(方程式1)，pi為正整數或O時，Dpφn(x)→Dpφ(x)為均勻收斂，並記做：φn(x)→φ(x)泛函數T：D→R為線性，且為連續，即在φn→φ時，T(φn)→T(φ)，則稱此（在D上）連續線性泛函數為廣義函數（GeneralizedFunction），有的稱為超函數或荷布【Distribution】）。

 

這些廣義函數的集合以D'表示，D'中之元素（即廣義函數，以後都稱之為荷布）定義其和及數積為：φ→(T1 T2)(φ)=T1(φ) T2(φ)φ→(kT1)(φ)=kT1(φ)T1，T2D'，則D'為一線性空間。

 

關於D'（即荷布所成之空間）有下面的性質：一、任意荷布可以無限次微分（即在弱微分意義下，也稱荷布意義下的微分）。

 

即設TD'為任一荷布，其偏導數表成DpT是依下面定義：DpT(φ)=(-1)∣p∣T(Dpφ)(φD)，∣p∣=p1 … pn其中Dpφ(x)=D1p1…Dnpnφ(x)(方程式2)x=(x1,…,xn),p=(p1,…,pn)例如f表示在Rn上之局部可積分函數，則此函數唯一決定一荷布Tf(方程式3)此一函數f在荷布意義下求其偏導數，即DpTf可求(方程式4)，若f為C∣p∣級，即有∣p∣次可連續求導，此時DpTf=TDpf二、任意兩個荷布不能定義乘積（在通常意義下）。

 

但對於α(x)C∞級，TD'，則其積仍為荷布，其定義為：αT(φ)=T(αφ)三、設D=D(R)，Dm=D(Rm)，ＴＤ，ＳＤm則可定義T與S的張量積TUSD m=D(R×Rm)為TUS(φ)=T(x)(S(y)φ(x,y))=S(y)(T(x)φ(x,y))這是在R×Rm上的一荷布。

 

又荷布T的Fourier變換可定義如(方程式4)，φD。

 

有關荷布理論是由史瓦茲(L.Schwartz)的荷布論而建立的。

 

（賴漢卿）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=9464