【中華百科全書●科學●實數】

楊籍富

【中華百科全書●科學●實數】

 

一、實數（RealNumbers）之公設系統實數系R是現代數學中不可缺的重要結構，這是數學分析及許多部分所必須預先假定的概念架構（ConceptualFramework）。

 

所有實數所形成的集合記作R，在加法運算「 」與乘法運算「‧」，在序<之下，形成一個有序體（OrderedField），或稱之為實數系。

 

換言之，實數系R必須滿足下列公設（Axioms）：A1對每兩個實數a、b，有實數a b與a‧b（a‧b簡証件記作ab）。

 

A2對所有實數a，b：a b=b a，ab=ba。

 

A3對所有實數a，b，C：a （b c）=（a b） c，a（bc）=（ab）c。

 

A4有兩個實數0、1，使得對所有實數a，0 a=a，1a=a。

 

A5對每個實數a，存在實數x，使a x=0。

 

對每個實數a，若a不是0，則有實數y，使ay=l。

 

O1對每兩個實數a、b，a>b，b=a，a<b這三個關係中只有一個成立。

 

O2若a>b，b>c，則a>c。

 

O3若c>0，則ac>bc。

 

若a>b，則a c>b c。

 

數學中所說實數必須是滿足上述公設A1~O3中所列述者）。

 

實數系與其他有序體之不同是：前者能滿足載淂金公設（Dedekind’sAxiom）：DA若L、R為二個非空的、不相交的實數集合，R=L∪R，且L之每一個元素小於R之每一個元素，則L有一最大元素，或R有一最小元素。

 

實數系之另一個重要性質是：實數系之完備性公設：若每一個非空的實數集E有一個上界，則E有一個上限c，cR。

 

在此，我們需用下列定義：u是E之一個上界（UpperBound），若對所有xE,xu；

 

c是E的上限（LaestUpperBound,Supremum），若c是E的一個上界，並且對E之任何上界u，cu。

 

二、如何造實數實數系之重要性質，由一公設系統描述出來。

 

自然數0,1,2,3,…,是我們最原始的「數」。

 

如何由自然數造出實數？

 

接受自然數集合ω={0,1,2,3,…,}之存在與皮阿諾公設（PeanoAxiom，描述「自然數之重要性質」的公設），可使用代數方法造出整數（0,±1,±2,±3,…,±n,…），然後造出有理數（RationalNumbers）p/q等等。

 

至此，我們可變得到滿足載淂金公設DA的一個有序體，叫做有理數系，記作Q。

 

由Q可採用三種途徑（或方法）造實數系R。

 

第一種方法：使用有理數序列（柯栖序列）；

 

第二種方法：使用載淂金分畫（Cut）；

 

第三種方法：使用康托（Cantor）的鍊（Chain）。

 

由這三種方法造成的實數，均可滿足前所列的各種實數性質，雖然在構造實數的過程中，有些是相異的程序與相異的對象。

 

三、由有理數的柯栖序列造實數令Q為有理數序體。

 

定義：有理數序列＜xn＞n向有理數x收斂（xn→x），若對任何有理數ε>0，存在正整數n0，使得：對所有nn0,│xn-x│<ε定義：具有下列性質的有理數序列稱為柯栖序列（Cauchy’sSequence）對任何有理數ε>0，有正整數n0，使得m,nn0│xm-xn│<ε定義：1°給定有理數的柯栖序列＜xn＞n,＜x´n＞n,令＜xn＞n對等於＜x´n＞n（＜xn＞n~＜x´n＞n），當且只當：xn-x´n向0收斂。

 

2°＜xn＞n與＜x´n＞n屬於同一等價類EquivalenceClass）＜xn＞n~＜x´n＞n。

 

3°Q（有理數）柯栖序列：＜xn＞n之每個等價類，就是此序列所決定的實數。

 

4°有理數x*，y*，z*，…，指前面有理數的柯栖序列所決定的實數。

 

包含序列＜x,x,x,…,x,…,＞的實數可記作X*，並且稱之為RealRationalNumber。

 

符號x*,y*,z*,…,未必表示這些實數是RealRationalNumber。

 

定義：若X*,y*為任何實數，＜xn＞n,＜x´n＞nx*,＜yn＞n,＜y´n＞ny*可導出＜xn yn＞n~＜x´n y´n＞n,＜xnyn＞n~＜x´ny´n＞n,令x* y*與x*y*各為包含柯栖序列＜xn yn＞n,＜xnyn＞n之實數。

 

－x*設為包含柯栖序列＜－xn＞n的實數。

 

至此，我們可導出下列結果：（一）若＜xn＞nx*0*，則存在有理數k>0，使得對任何充分大的n,│xn│>k。

 

若x*0,則x*>0*，或x*<0定義：令，於是（二）（x y）*=x* y*,（xy）*=x*y*,（－x）*=－x*,（x－1）*=（x*）－1（若x0）。

 

（三）x>y,x=y,或x<y,則各有：x*>y*,或x*<y*。

 

（四）│x│*=│x*│。

 

（五）│x│>│y│,│x│=│y│,或│x│<│y│,則各有│x*│>│y*│,│x*│=│y*│,或│x*│=│y*│。

 

（六）x*,y*都是實數，x*<y*,則有RealRationalNumberu*，使得x*<u*<y*。

 

（七）若x,xn（n1）都是有理數，x*,都是x,xn所對應的實數，則＜＞n向x*收斂＜xn＞n。

 

向x收斂。

 

（八）由RealRationalNumber所成的序列＜＞n是一個柯栖序列，當且只當：其對應的有理數序列＜xn＞n是一個柯栖序列（在此，稱＜＞n是一個柯栖序列，若對任何有理數ε>0，有正整數斯n0,使得m,nn0│－│<ε）。

 

（九）x*是任何實數，＜xn＞nx*，並且是RealRationalNumberxn所對應的實數，則向x*收斂。

 

（十）實數的柯栖序列必定收斂。

 

基本定理（十）告訴我們：實數系R乃是由RealRationalNumber所完成的。

 

至此為止，我們已用有理數來造實數。

 

我們可略去x*之星號*，而把實數x*記作x。

 

實數之第二個基本定理是前面所曾提出的「實數之完備性公設」：（十一）若每個非空的實數集E有上界，則E必有上限cR。

 

實數之Dedekind公設DA，是（十一）的結論。

 

四、由有理數的分畫造實數定義：將Q分割為兩個集合L、R，Q＝L∪R，，使L、R均有有理數，並且R之每一個有理數大於L之任何有理數。

 

這一分割記作L│R。

 

有理數的分割具有下列三種可能：第一種可能性：L中有最大數，R中無最小數；

 

第二種：R有最小數，L無最大數；

 

第三種：L無最大數，R無最小數。

 

例R={xQ：x>2},L＝Q－R即第一種情形；

 

L={xQ,x<2},R=R－L為第二種情形；

 

L={xQ：x22},R={xQ：x2>2}即第三種情形。

 

定義：我們稱每一分割定義一個實數。

 

由第一、二兩種分割所定義的實數與有理數之間呈l─l對應。

 

第三種分割所定義的實數稱偽無理數（IrrationalNumber）。

 

定義：α=A│A´表示由分割A│A´所定義的實數α，R為實數之全體。

 

定義：若α=A│A´，β=B│B´，A=B（A´=B´），則α=β定義：若α=A│A´，β=B│B´，令α>βAB（A´B´）β<αα>β。

 

由此可導出下列結果：（一）對應於有理數的分割A│B，其大小順序與其對應的有理數之大小順序完全相同。

 

於是，我們把Q當做R之子集。

 

（二）若α=A│A´，β=B│B´，則α>β或α=β或β<α，三者中只有一個成立。

 

（三）若α=A│A´，β=B│B´，γ=C│C´，α>β，β>γ，則α>γ。

 

（四）若α=A│A´，對應於有理數γ的分割為γ=R│R´，若γA，則α>γ；

 

若γA´，αγ。

 

（五）對任何兩個相異的實數α、β，α=A│A´，β=B│B´，α與β之間有無限多個相對應於有理數的實數。

 

定義：設α=A│A´，β=B│B´，1°令C´={x y：xA´，yB´}，C=Q－C´，α β=C│C´。

 

2°-α={-x：xA}│{-x：xA´}。

 

3°若α0，令4°若α>0，β>0，令αβ={xy：xA，yB}│（Q－{xy：xA，yB}）。

 

一般情形，5°α－β=α＋（－β）6°設0<α=A│A´，C={Q：xA´}∪{xQ：x<0}。

 

C=Q－C´，則令=C│C´。

 

若α=A│A´，α<0，令=。

 

經過這些「實數之四則運算」後，我們可導出前所述的DA（載淂金公設），並由此導出R之完備性公設。

 

五、由康托的鍊法（Cantor’sChainMethod）造實數由平方根之計算，知道1<<21.4<<1.51.41<<1.421.414<<1.4151.4142<<1.4143………………………...即是「有界的」，是由（一個）有理數的序對之序列＜1,2＞,＜1.4,1.5＞,＜1.41,1.42＞,＜1.414,1.415＞,＜1.4142,1.4143＞，…所決定的數，但√2不是有理數。

 

故√是由一無限程序（UnfiniteProcess）所決定的。

 

定義：Q之序對之序列＜an,bn＞n是一個鍊，當且只當：對所有正整數n，1°anQ,bnQ；

 

2°anan 1bn 1bn；

 

3°bn－an2－n。

 

定義：給定Q之兩個鍊＜an,bn＞n,＜cn,dn＞n，令＜an,bn＞n~＜cn,dn＞n對所有自然數k,bkck,dkak（即：對每個自然數K，﹝ak,bk﹞與﹝ck,dk﹞這兩個區間有共同的元素）。

 

不難證明：4~是鍊與鍊問的等價關係。

 

定義：若＜an,bn＞n為Q之一鍊，此鍊之一等價類x*定義為一實數。

 

｜例：又可視為＜1,2＞,＜1.4,1.5＞,＜1.41,1.42＞,＜1.414,1.415＞,…之等價類。

 

在Q鍊之等價類x*中，可定義乘法、加法、除法、減法這些運算。

 

在這些運算下，等價類之運算與Q之運算具有類似之處。

 

於是在形式上，R（有理數系）可定義為商類Q/~即~之所有等價類之全體）Q可視為R之子集。

 

在數學基礎上，實數與/或實數系R之造法有前述三種。

 

但對於以數學為應用工具的科學而言，實數之重要性質是由前所列實數之公設系統的基本假設Al~A5,Ol~O3,DA與實數之完備性公設所表徵出來的。

 

能把握住這些性質，對於近代數學分析，以及以此為基礎發展出來的數學理論或分法，就不難於了解，並駕輕就熟了。

 

（洪成完）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=9461