【中華百科全書●科學●圓周率】

楊籍富

【中華百科全書●科學●圓周率】

 

一個周的圓周與其直徑之比值，稱為圓周率（TheRatiooftheCircumferenceofaCircletoItsDiameter）。

 

古希臘（約在三千多年前）的數學家歐幾里得（Euclid）於其所編著的「幾何原本」（Elements）叢書中曾提及「圓周率為一常數（固定的數值）」，但未提及此常數值之大小。

 

奧依勒（Euler）於西元一七三七年，即以π（圓周之希臘文名詞之第一字母）指這個數值。

 

在求圓之面積，或解有關圓的問題，以及古代數學之三大問題之一（即「做一正方形使其面積等於一個圓之面積」這一問題），我們會遇到周周率π。

 

現在，公認的π之逼近值（ApproximateValue），至小數第五十位止是：3.14159265358979323846264338327950288419716939937510…。

 

如何求得π之逼近值，在數學更上是頗有趣的問題。

 

古埃及人以（方程式１）為圓周率之值。

 

西元前二百四十年左右，希臘數學家阿幾米德（Archimedes）使用一單位圓（半徑為一之圓）之外接正n邊形與內接正n邊形（n=12,24,48,96）計算這些正n邊形之周長Ln。

 

與ln，而求得下列關係：（方程式２）他並得到這結果：（方程式３）我國三國時代的劉徽（LiuHui）求得π之逼近值為三．一四；

 

南北朝時代之祖沖之（TsuChung-Chih），求得π之逼近值為（方程式４），他們所使用的方法類似於阿幾米德所用方法。

 

西元一五七九年，法國人FrancisViete以正393216邊形求得π之逼近值至小數第九位止，並發現下列等式：（方程式５）一六五○年英國的JohnWallis得到：（方程式６）一六七一年，蘇格蘭人JamesGregory得到無限級數：（方程式７），這個公式對於後人利用其他等式計算π逼近值大有助益。

 

Gregory與萊布尼茲（Leibniz）獨立地得到：（方程式８）一七○六年，JohnMachin使用下列等式（方程式９）與Gregory級數，將π之逼近值求到小數一百位止。

 

一七六七年。

 

JohannHeinrichLambert證明了π不是有理數（即π不可能表示為二個互質的正整數之比）。

 

一七九四年，Adrien-MarieLegendre證明了π2不是有理數。

 

一八七三年，英國的WilliamShanks利用Manchin等式。

 

求π之逼近值至小數第七百零七位止，但在一九四六年，D.F.Ferguson發現Shanks所求的值在小數第五百二十八位後，出現錯誤。

 

其後，一九四八年，Ferguson與Wrench聯合公布π之值至小數八百零八位止均正確。

 

Ferguson應用公式：（方程式１０）與Gregory級數。

 

現代高速電算機（電腦）可快速地求得π之值至小數一萬位，甚至五萬位止，例如，法國的JeanGuillard與其助理，使用CDC6600電算機，求π值到小數五萬位止。

 

這些計算的結果有何意義？

 

第一、我們稱一實數是單純正態的（SimpleNormal），若這實數之小數展開式中所有小數數字均有同等頻率出現。

 

我們稱一實數是正態的（Normal），若其小數展開式中，小數數字之等長段落以同等的頻率出現。

 

前面π之逼近值之計算都無法驗證π是否為單純正態或為正態實數。

 

第二、求π逼近值至小數第n位止，n³10或n³100，其精確度對於某種工程數學之實際問題（即工程之精密度）有所幫助。

 

第三、我們已知π不是有理數。

 

π不可能用兩數之比例得到（除非得到的是逼近值）。

 

我們稱一個複數是一個代數數（AlgebraicNumber），若此複數為某一個具有理係數多項式之一根（實數可視為複數之特殊情形），不是代數數的數，稱為超越數（TranscendentalNumber）。

 

一八八二年，C.L.Lindemann首先證明了π是一個超越數，這是數學史上一件很特殊很重要的一件事。

 

奧依勒（Euler）獲得eπi 1=0，一個把數學中四個基本常數（圓周率π，自然對數之底e，純虛數（方程式１１），與1）聯繫起來的公式。

 

由Lindemann的結果可導出？

 

也是一個超越數。

 

這一結果對古代數學之三大問題之一有「直接的意義（Significance）：我們不可能使用圓規與直尺，在有限多次的步驟內，造一個與已知圓有相同面積的正方形（即造一個也為x的長方形使x2=πr2，r為已知圓之半徑）」。

 

（這個斷言在數學上的證明要用到伽羅華論〔GaloisGroupTheory〕之一些重要性質）。

 

（洪成完）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=9371