【中華百科全書●科學●線性變換】

楊籍富

【中華百科全書●科學●線性變換】

 

首先假定「向量空間」、「線性獨立」與「線性相依」等概念。

 

給予一已知實數b，函數f：R→R(x→bx)具有下列性質：(＊)對任何實數α、β，f(αx βy)=αf(x) βf(y)。

 

若C[a,b]=｛f:f:〔a,b〕→R為連續函數｝，在函數加法f g與函數純量乘法αf這兩個運算下，C[a,b]形成一個實向量空間。

 

對任何fC[a,b]，令(方程式1)，則T：C→R把f變成一積分T(f)a，這個函數T也具有上述性質。

 

這兩個例子以及其他例子，提示我們下列推廣出來的概念：定義：給定正整數n,m1，給定映射f：Rn→Rm，f把Rn之任何一點x映成Rm之一點，因此，依向量空間Rm之元素之記法，可記作(方程式2)，我們稱每一個fi是f的分量函數(ComponentFunction)，fj為f的第j分量函數。

 

(方程式3)是一個實數值函數。

 

稱映射f：Rn→Rm是一個線性映射(LinearMapping)或線性變換(LinearTransformation)，當且只當：對任何純量α、β(即實數)，對任何x,yRn：(方程式4)。

 

我們還可以推廣：定義：給定實向量空間V、W，稱映射L：V→W(方程式5)是一個線性映射或線性變換，當且只當：對V之任何元素x,y，對任何純量α、β：(方程式6)線性映射或線性變換，在工程及應用數學方面有極大應用。

 

因為這種函數是我們用來控制某種人為現象，或描述自然現象時，常要用到的工具。

 

在實向量空間之內，線性映射與矩陣(Matrix)有關，兩者可互相「表現」。

 

我們可驗證：實數值函數fi：Rn→R是線性的，當且只當：有n個純量ai,j(記作aij)(1jn)使得：對任何xRn，x=(x1,x2,…,xn)T，（方程式7）(1im)。

 

因此，若f：Rn→Rm是一個線性轉換，則有mn個純量aij(1im，1jn)完全決定f在任何點xRn之值f(x)。

 

定義：由縱橫之行列所成的下列對象，稱為一個m×n矩陣：(方程式8)若m=n，稱之為n階方陣(SquareMatrixofOrdern)。

 

上述矩陣可記作A，或A=〔aij〕。

 

一般以A、B、C、…記矩陣。

 

對任何m×n矩陣A=〔aij〕，(1im，1jn)，aij稱為A之第i列、第j列交界之元素。

 

Ai=[ai1,ai2,…,ain]與Ai=[a1j,a2j,…amj]T各稱為此矩陣之第i列向量(i-thRowVector)與第j行向量(j-thColumnVector)。

 

因此，A可記作(方程式9)注意：(方程式10)定義：若A與B均為m×n矩陣，A=〔aij〕，B=〔bij〕(1im，1jn)，r為任何純量，令A B=[aij十bij](矩陣之加法)rA=〔raij〕(矩陣之純量乘法)定義：若A為m×n矩陣，B為n×p矩陣，A=〔aij〕,B=〔bjq〕〕(1im，1jn，1qp)，令AB=[AiBj](矩陣之乘法)在此，令AiBj=〔ai1,ai2,…,ain〕〔b1j,b2j,…,bnp〕T=(方程式11)(1im，1qp)即：AB之第i列、第j列交界之元素為(方程式12)注意：若A為m×n矩陣，B為n×p矩陣，則AB之定義如前述，而為一個m×p矩陣。

 

但BA未必有定義，除非p=m。

 

我們可用矩陣來刻畫實向量空間之線性映射。

 

定理：映射f：Rn→Rm是一個線性映射，當且只當：有一個m×n矩陣A使得：對所有xRn，(方程式13)(右邊表示矩陣之乘法)。

 

若選定Rn之標準基底向量(方程式14)為Rn之參考標準，則Aj(A之第j行向量)=(方程式15)，我們稱A為f所對應的矩陣。

 

注意：給定線性映射f，可找到一個矩陣，稱矩陣為f之矩陣；

 

f之矩陣未必是唯一的。

 

給定一個矩陣A，我們可決定一個線性映射f。

 

應用例：將平面R2之任何一點(方程式16)依反時鐘方向繞原點(方程式17)轉一角度α，得到一個變換(映射)R(α)：R2→R2。

 

若x=(x1,x2)T為R2之任何一點，f把x變成y=(y1,x2)T，使用極坐標，可導出：(方程式18)，f(x)具有Ax這種形式，由前定理，R(α)：R2→R2是一個線性映射。

 

前定理可加以推廣：定理：給定實向量空間U、V，dimU=n，dimV=m，給定線性映射L：U→V。

 

取定U之一(固定)基底(方程式19)，V之一(固定)基底(方程式20)，則L唯一地決定mn個純量aij(1im，1jn)；

 

反之，這mn個純量唯一地決定L。

 

針對上述兩個基底，對任何uU，對任何vV，若(方程式21)，則u與L(u)各用(x1,x2,…,xn)T,(y1,y2,…,yn)T表示(即令u=(x1,x2,…,xn)T，L(u)=(y1,y2,…,ym)T；

 

則L：U→Vu→L(u)，可表示為：(方程式22)我們稱〔aij〕為L所對應的矩陣。

 

定理：若f：Rn→Rm與g：Rm→Rp都是線性映射，則g。

 

f：Rn→Rp也是線性映射。

 

令Mg,Mf,Mgof各為g、f，g。

 

f所對應的矩陣，則Mgof=MgMf。

 

這個定理還可加以推廣，茲不贅述。

 

前面兩個定理，可導出線性映射與矩陣之重要性質。

 

例如：定理：一、若A、B、C均為m×n矩陣，則A＋B=B＋A,(A B) C=A (B C)。

 

二、若A為m×n矩陣，B為n×p矩陣，C為p×q矩陣，則(AB)C=A(BC)(因此，左右兩邊可簡記ABC)。

 

三、若A為m×n矩陣，B與C均為n×p矩陣，則A(B C)=AB AC。

 

四、若A與B均為m×n矩陣，C為n×p矩陣，則(A B)C=AB BC。

 

線性映射之性質，有時可由其核(Kernel)與像集(Image)看出來。

 

定義：給定實向量空間V、W，給定線性映射L：V→W，令(方程式23)(L之核)(方程式24)(L之像集)(不難驗證KerL與ImL各為V與W之子空間)。

 

我們有下列結果：定理：若L、V、W如前，但V為有限維實向量空間，則dim(KerL) dim(ImL)=dimV。

 

定理：若KerL={0}ÍV，則L是l-1；

 

若dimV=n,dimW＜∞，則L：V→W是一個雙射(Bijection)。

 

這兩個定理有廣泛的應用。

 

(洪成完)

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=9365