【中華百科全書●科學●線性泛函】

楊籍富

【中華百科全書●科學●線性泛函】

 

首充引介兩個例子。

 

設V指所有在閉區間〔a,b〕可黎曼(Riemann)積分的實數值函數，則V在函數之加法與純量乘法下形成一個實向量空間。

 

對每個fEV，f在〔a,b〕之積分(方程式圖)取一實數值。

 

因此，(方程式圖)定義一個線性映射q：V→R。

 

令V指所有收斂的實數序列(方程式圖)(N為所有正整數之集合)，因序列是函數之一種特殊情形，故V也形成一個實向量空間，將每一個收斂的實數序列(方程式圖)對應到其極限，得到一個線性映射q：V→R，(方程式圖)。

 

這兩個線性映射就是此處要引介的線性泛函(LinearFunctionals)之例。

 

任何體(Field)F是一種代數結構，這種結構滿足阿貝爾加之所有公設，並在F之乘法運算下閉合。

 

因此，任何體可視為關於其自身之向量空間。

 

前面的例子提示我們引介下例。

 

定義：給體一個體F，一個關於F的向量空間V。

 

我們稱：映射q：V→F是一個線性泛函，當且只當：對所有(方程式圖)，對所有α,βEF：(方程式圖)依據一已知原理，集合｛L：L是由向量空間V至向量空間W的線性泛函｝形成一個向量空間。

 

因此(關於F的)，向量空間至F的線性泛函之全體形成一個向量空間。

 

定義：若V為關於F的向量空間，(方程式圖)，稱為V之對偶空間(DualSpace,ConjugateSquare)。

 

V與V*有何關係？

 

我們有：定理：若V為關於體F的向量空間，(方程式圖)為V之一基底，令(方程式圖)，則｛q1,q2,…,qn｝為對偶空間V*之一基底，稱為V之基底(方程式圖)之對偶基底(方程式圖)(DualBasis)。

 

例：(方程式圖)為R3之一基底((方程式圖)之第i分量為1，其他所有分量為0)，對任何(方程式圖)，令(方程式圖)，令(方程式圖)，由此得到(R3)*之對偶基底｛q1,q2,q3｝，在此，(方程式圖)。

 

因V*為一向量空間，故有對偶空間V**。

 

因每一個(方程式圖)決定一個線性泛函qEV*(可視q為V*之「向量」或點)，若q'EV**，則每個qEV*決定一個q'EV**，使得(方程式圖)，不難驗證V**之元素(線性泛函)也是線性映射：對任何q1,q2EV*，對任何xEV,q'(αq1 βq2)=(αq1 βq2)(在此，α、β為F之任何元素，V為關於F之向量空間)。

 

由此可知：由V至V**之線性映射是向量空間V與V**之同構。

 

前述各種概念與結果，可推廣到「位相向量空間」(拓樸向量空間〔TopologicalVectorSpace〕)。

 

定義：若V是關於體F的向量空間(在習用上，取F=R〔實數體〕或C[複數體])，V是一個位相向量空間，當且只當：V是一個位相空間(TopologicalSpace)，並且對任何(方程式圖)，對任何αEF，向量加法(x,y)→x y與向量之純量乘法(α,x)→αx都是連續的映射。

 

定義：設V為關於體F的位相向量空間，稱線性泛函，q：V→F是連續的，當且只當：q對V與F的位相(Topology)是連續的。

 

定理：下列三個命題在(邏輯上)是等價的：一、線性泛函q：V→F是連續的。

 

二、集合(方程式圖)是V之一開子集(OpenSubset)。

 

三、(方程式圖)是V之一閉子集(ClosedSubset)。

 

下列是著名的Hahn-Banach定理：定理：若V是關於體F的位相向量空間，W為V之子空間，則：q：W→F可擴展成為一個連續的線性泛函，當且只當：V之原點有一凸鄰域(ConvexNeighborhood)(方程式圖)，使(方程式圖)與(方程式圖)不相交。

 

若此q可擴展(延拓)，則q有一擴展在(方程式圖)不取值1。

 

線性映射與線性泛函有何關係？

 

定義：若V與W都是關於F的向量空間，L：V→W與q：W→F都是線牲映射，則(方程式圖)稱為線性映射L之轉置映射(Transpose)。

 

例：若L：R2→R2,L(x,y)=(y,x y)T,q：R2→R,q(x,y)=x-3y,則LT(q(x,y))=q(L(x,y))=q(y,x y)=-3x-2y。

 

定理：設U、V、W都是關於F的向量空間：一、若L：V→W是線性的，則LT：W*→V*也是線性的。

 

二、若L1：V→W與L2：U→V都是線性的，則(L1L2)T=L2TL1T。

 

由此可導出線性映射之轉置映射之其他性質。

 

定義：若A為m×n矩陣，A=〔aij〕(方程式圖)，設AT=〔aij〕，稱之為A之轉置(Transpose)。

 

定理：若V、W都是向量空間，dimV=n,dimW=m;(方程式圖)與(方程式圖)各為V與W之基底，DV=｛q1,q2,…,qn｝與DW=｛r1,r2,…,rm｝各為V*與W*之(對偶)基底。

 

若針對BV、BW線性映射L：V→W，可由m×n矩陣A=〔aij〕表現(方程式圖)，則針對DV、DW，L之轉置映射LT：W*→V*，可用A之轉置AT來表現〔LT(r)=ATr〕。

 

簡言之，當我們知道矩陣A表現線性映射L：V→W，則AT表現L之轉置映射LT：W*→V*。

 

(洪成完)

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=9363