【中華百科全書●科學●方程】

楊籍富

【中華百科全書●科學●方程】

 

表示二個量相等關係之敘述，稱為方程（Equation）。

 

通常方程均含有變數，若變數以任意值代入（方程有意義時）均使方程成立，此方程稱為恆等式；

 

反之，若變數僅有一些值使方程成立，則稱為條件方程，亦可簡稱為方程。

 

例如（見圖一）為恆等式，而（見圖二）為條件方程。

 

方程一詞在數學中的應用極為廣泛，通常是以其變數出現的形態或其根的特性來加以分類的。

 

現就較常用的略舉分述於下：一、變數以無理函數形態出現，稱為無理方程，例如（見圖三）變數以指數函數形態出現，稱為指數方程，例如（見圖四），變數以對數函數形態出現，稱為對數方程，例如（見圖五），變數以三角函數出現，稱為三角方程，餘此類推。

 

二、微分方程（DifferentialEquation）：變數以導函數形態出現者，例如（見圖六）。

 

三、殘缺方程與冗餘方程：若二方程可以用代數運算互相得出，而甲方程的根僅是乙方程的根之一部分，則甲稱為乙的殘缺方程（DefectiveEquation），而乙即稱為甲的冗餘方程（RedundantEquation）。

 

例如甲方程為（見圖七）與乙方程（見圖八）可以用代數運算互相得出，甲之根為x＝4而乙之根為x＝4，x＝1。

 

此時，x＝1稱為增根。

 

四、不定方程（IndeterminateEquation)：含有多個變數的方程，稱為不定方程，例如x-2y=1。

 

此類方程有無限多個根，因此在討論中（特別是在數論)常限制係數為整數來尋求方程的整數根。

 

在此種限制下，方程又稱為刁方都方程（DiophantineEquation）。

 

五、多項式方程（PolynomialEquation）：多項式等於0之關係稱為多項式方程。

 

多項式的次數即稱為此方程之次數，例如含二個變數之二次多項式方程為（見圖九）其中係數a、b、c不全為0。

 

顯然地，在方程中變數的個數愈多，求根的過程就愈複雜，所以單變數多項式方程求根的討諭是極其基本且重要的。

 

此種方程常表為（見圖十）其中叫a1為文字係數。

 

若首項係數an=1，且所有係數a1均為整數值，則此方程又可稱為P-型方程（Equationinp-form）。

 

以下的討論均限於單變數多項式方程。

 

一般之一次與二次方程經整理後，都可以直接代入公式而求出根，三次方程可轉換為（見圖十一）而以卡丹（Cardan）解法來求根，四次方程求根的公式亦由法拉利（Ferrari）導出，然而五次及五次以上之多項式方程，我們僅能由代數基本定理（FundamentalTheoremAlgedra）得知它必有實數或虛數的根，且根的個數恰好等於方程的次數。

 

至於能否像四次方程一樣的，導出一個求根的公式來，大數學家阿貝爾（Abel,）已經證明是絕對不可能的。

 

（李沖）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=8993