【中華百科全書●科學●固有值問題】

楊籍富

【中華百科全書●科學●固有值問題】

 

固有值一般之定義如下：作用在線性空間X(或其子集合)上的線性算子A，具有複數值λ為其固有值(EigenValue)的意思是，存在xX滿足Ax=λX(x≠0)。

 

此時x稱為對應於固有值λ的固有向量或固有元。

 

若x表示函數空間時，固有元常改用固有函數(EigenFunction)稱呼。

 

對於固有值λ，其對應的固有元(可能不只一個)全體添加0所生成的子空間M(λ)=M(λ：A)=｛x；

 

Ax=λx｝稱為屬於λ的固有空間(EigenSpace)。

 

M(λ)的維數dim(M(λ)=m(λ))稱為固有值λ的(幾何)重複度(Multiplicity)。

 

m(λ)=1或m(λ)2分別稱λ為單純固有值或縮重(Degenerate，也有叫退化)固有值。

 

固有值λ的意味是要使固有元x在算子A的作用下保持原有x方向之一純量倍數，固有元的意味也是說經A的作用後還是保有原有向量之方向，不過其大小隨λ而伸或縮而已。

 

在給定算子A後欲求固有值λ及固有元x的問題，就稱為固有值問題。

 

在線性位相(我國早期以音譯為拓樸)空間上的固有值概念是從下面譜值概念一般化而來。

 

如設λ為任意複數，令Aλ=λI-A,Rλ=(Aλ)-1=(λI-A)-1(I表X上的恆等變換)，此時若Rλ在X中具有稠密的定義域，且為連續之所有λ所成的集合以ρ(A)表示，此集合ρ(A)稱為預解集(Resolvent)，不屬於ρ(A)之所有複數以σ(A)表示，稱為A的譜集(Spectrum)。

 

σ(A)所含之元素為離散之點時，稱為點譜集(PointSpectrum)，以σp(A)表示，其他還分有連續譜集(ContinuousSpectrum)σc(A)及剩餘譜集(ResidualSpectrum)ρR(A)，共分割成三個部分集合；

 

即σ(A)=σp(A)Uσc(A)UσR(A)，這些子集明白的表之如下：σp(A)=｛λRλ不存在｝=｛λλ為A的固有值｝σc(A)=｛λRλ的定義域在X中稠密，且Rλ不為連續｝σR(A)=｛λRλ存在，但其定義域在X中不稠密｝。

 

特別當X為Banach空間，而A為閉算子時，λερ(A)的條件與RλεB〔X〕等價，此處B[X]表示以X為定義域D(A)之有界算子A的全體。

 

若AεB[X]，則σ(A)為緊緻集合。

 

A的譜半徑(SpectralRadius)定義為γσ(A)=supλλεσ(A)，此γσ(A)有下列性質：〈見圖一〉。

 

一般關於譜值之解析稱為譜解析。

 

在無限維空間，如X為一般Hilbert空間時，A為其自伴算子的情形，不但有許多理論的進展，且在應用上也極屬重要。

 

簡單的情形是X=Rn(歐氏n維空間)時，A=(aij)為n維方矩陣的情形，欲求A的固有值，即解所謂固有方程式det(A-λI)=0的根。

 

特別於aij=aji，即A為對稱矩陣時，A的固有值為實數。

 

在有限維線性空間上的算子A，除了固有值外就沒有其他的譜值點，即σ(A)=σp(A)。

 

兩個相似矩陣A、B(即存在一正則矩陣P，使B=P-1AP)，則具有相同的固有值(包含重複的固有值)。

 

下面所說的矩陣都指方陣。

 

值得介紹的是有關正規矩陣之固有值問題，所謂正規矩陣A=(aij)，即其隨伴矩陣(為a的共軛複數)，滿足AA*=A*A。

 

如單式矩陣U；

 

即U*U=I,U*=U-1,以及Hermite矩陣H=H*等都是正規矩陣的好例子。

 

屬於正規矩陣A之相異固有值所對應的固有空間互相直交，且它們全體編織成X全體。

 

因此這些固有元，可以成為X的基底(是完備單範正交系)，記為｛φi｝(i=1,2,…,N)，則Aφi=λiφi，(φi,φj)=δij(i,j=1,2,…,N)，δij是Krone-cker記號，表δii=1，δij＝0(ij時)。

 

利用這個基底，對任意xεX，則有〈見圖二〉其中PR表示到固有值μR所屬之固有空間上的正射影。

 

關於固有值問題與(方)矩陣之對角線化有很密切的關連，如*中第i列向量之φi，U為單式矩陣，將A變換成U*AU，這是以｛λi｝為對角線元素所成之矩陣。

 

(賴漢卿)

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=8572