【中華百科全書●科學●歐幾里得幾何學】

楊籍富

【中華百科全書●科學●歐幾里得幾何學】

 

凡是應用一組基本概念(FundamentalConceptions)寫出一套不相矛盾的，各自獨立的公理(Axiom)，根據這套公理用論理學的方法，推演出一組命題(Proposition)，這一組命題就是一部幾何學。

 

古希臘人歐幾里得(Euclid，西元前三一五~前二五五年)綜合前人(HippocratesofChios,Leon,Theudias…)的幾何觀念，編集一部內容豐富且組織嚴密的幾何原本(Element)十五卷。

 

幾何原本所述的命題集合就稱為歐幾里得幾何學。

 

自歐氏時代開始，二千年來的幾何學家都奉歐幾里得的幾何原本為金科玉律，各國所用的教科書也都奉之為幾何學的圭臬。

 

歐幾里得所著的幾何原本開端就是點、線、面…等二十三個定義，其次就是五個公設和五個公理，又其次就是由此推演出來的命題。

 

五個公設和五個公理分列如後：公設一：任一點到另一點必可作一直線連之。

 

公設二：直線可以任意延長。

 

公設三：可以任意點為圓心，任意長為半徑作圓。

 

公設四：直角皆相等。

 

公設五：(平行公設)過線外一點恰有一線與已知直線平行。

 

公理一：與等量相等的量必相等。

 

公理二：等量加等量結果相等。

 

公理三：等量減等量結果相等。

 

公理四：重合量必相等。

 

公理五：全量必大於分量。

 

不過實際上他所推演出的命題並不是僅以十個公理來做根據的，譬如Pasch公理和「直線長是無窮的」也暗中引為推演的根據。

 

近代的幾何學家，如德國的希伯特(D.Hibert，著幾何原理（TheFoundationofGeometry）和法國的馬克(M.Macleod，著非歐幾何學)，都把歐氏幾何應有的基本概念及公理概分為如後五類：一、結合公理(AxiomofConnection)。

 

二、次序公理(AxiomofOrder)。

 

三、疊合公理(AxiomofCongruence)。

 

四、平行公理(AxiomofParalleles。

 

五、連續公理(AxiomofContinuity)。

 

其中平行公理又稱為歐幾里得公理。

 

歐氏幾何一直延續了近二千年，大約在西元一八三○年左右，才又有俄國的數學家羅波切夫斯基和匈牙利的數學家龐禮愛約翰發表了虛幾何學，第二種幾何才出現。

 

及至近代許多數學家企圖由厥氏的五個公理和其它四個公設來推出平行公設，雖然每每失敗，但其副產品卻是光芒四射，非歐幾何學便是由此而產生。

 

(夏文侯)

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=7218