【桿振動】

豐碩

【桿振動】

 

vibrationofbar

 

【辭書名稱】力學名詞辭典

 

桿的振動有兩種基本模態，分別是軸向振動與側向振動。

 

首先考慮軸向振動，如附圖長度為dx，截面積為A，密度ρ之桿元素。

 

由力平衡原理可推得：∂2u/∂t2＝(1/C2)(∂2u/∂x2)因此，振動位移滿足波動方程式，其中：C＝√E/ρ是沿軸向傳送之縱波波速，而E是楊氏模數。

 

因此，振動位移的通解為：u(x,t)＝cos(ωt＋ф){Acoskx＋Bsinkx}其中A，B是未定係數；

 

ф是相差；

 

k＝ω/C是波數。

 

假設桿長為L，兩端為固定端，則u(x＝0,t)＝0將使得A＝0，而u(x＝L,t)＝0使得sinkL＝0，或kn=nπ/Ln=1,2,3,…因此，存在的振動模態角頻率必須滿足：ωn＝Cnπ/Ln＝1,2,3,…而位移解為各模態之線性組合Bn與фn將由初始條件求得。

 

事實上，不同的邊界條件將導致不同的振動頻率，必須依實際問題求解。

 

將桿的軸向振動應用在壓電換能器上，可由壓電晶體的切割方式控制其軸向振動頻率，以激發固定頻率之超音波。

 

接著考慮桿的側向振動，長度為dx，截面積為A，密度ρ為之桿元素，由力矩在x處平衡得到：V＝dM/dx由力平衡知：dV/dx＝ρA(∂2y/∂t2)由曲率關係得到：M＝－EI(∂2y/∂x2)其中，E是楊氏模數；

 

I是面積慣性矩。

 

綜合上式可求得側向位移解y(x,t)滿足：∂2y/∂t2＝－(EI/ρA)(∂4y/∂x4)假設y(x,t)＝W(x)cos(ωt＋ф)，則W(x)將滿足：d4W/dx4＝(ω2ρA/EI)W＝γ4W則W(x)＝Acoshγx＋Bsinhγx＋Ccosγx＋Dsinγx。

 

由邊界條件可求得γ必須滿足的條件，進而得到側向振動之振動頻率。

 

假設桿件在x＝0為固定端，在x＝L為自由端，則γ必須滿足：cotγL/2＝±tanh(γL/2)滿足邊界條件的γ可由cot(γL/2)曲線與tanh(γL/2)曲線的交點求得，依序為γ1＜γ2＜γ3…，同時得到相對應之振動頻率。

 

桿的側向振動可應用在音叉的設計上，以產生固定音頻的聲波。

 

 

轉自:http://edic.nict.gov.tw/cgi-bin/tudic/gsweb.cgi?o=ddictionary