【中華百科全書●商學●常態分配】

楊籍富

【中華百科全書●商學●常態分配】

 

常態分配（NormalDistribution），為統計學中最重要的機率分配之一，其圖形呈鐘形，故又稱為鐘形曲線。

 

此一曲線的函數式，首先由法國學者迪摩佛氏（DeMoivre，西元一六六七～一七五四年）導出。

 

後來英國學者高斯氏（C﹒F﹒Gauss，一七七七～一八五五）和拉普拉斯氏（P﹒S﹒Laplace，一七四九～一八二七），在研究重複測度一數量的誤差時，亦導出同一曲線。

 

因此，歐陸的學者稱常態曲線為迪摩佛曲線，但英美的學者則稱之為高斯曲線。

 

一、常態分配的重要性：何以常態分配在統計學上占有如此重要的地位？

 

其原因有二：（一）它具有的某些特性在許多情況下均適用，這在抽樣推論上是項必要條件。

 

（二）宇宙間很多現象的發生，在觀察次數大時，其次數分配或多或少會類似此曲線。

 

諸如人類的特徵（身高、體重和智商等），實際生產過程中的產出（產品的大小和產量），以及管理在社會和自然科學上有關的量數，常態分配均可作為其實際觀察次數分配的最佳配適。

 

二、常態分配的機率函數：有限次地重複一公正且獨立的試行（Trial），其次數分配一般呈二項分配（BinomialDistribution）。

 

但當試行次數遂漸增加，該分配即逐漸趨近於常態分配。

 

若已知X為常態隨機變數，則其機率函數（ProbabilityDensityFunction）為：(見方程式1)式中μ表示平均數σ表示標準差π等於三．一四一六e等一二．七一八三其圖形如附圖1所示。

 

三、常態分配的特性：仔細觀察附圖，可發現常態分配具有下列數項重要特性：（一）係單對稱分配，僅有一個眾數（Mode）。

 

大部分次數集中於平均數左右，其平均數、眾教和中位數（Median）為同值。

 

（二）曲線的反曲點（PointofInflection）在x=μ±σ處，曲線在區間（μ－σ,μ σ）內係呈向下凹（ConcaveDownward），其他範圍則呈向上凹（ConcaveUpward）。

 

（三）曲線向左右兩方逐漸降低，並以橫軸為漸近線。

 

（四）其形狀在μ和σ已知時，即可決定。

 

惟不管函數中的μ和σ值為何，此曲線與橫軸所圍面積等於1。

 

四、常態曲線下的面積：依上述特性知，此曲線下面積可視為機率值，並已知其平均數兩旁加減一個、二個和三個標準差所圍的面積，分別為○．六八二七、○．九五四五和○．九九七三。

 

惟在實際應用上，甚少剛好獲得上述結果，而欲列各種可能的常態面積表，事實上亦不可能。

 

何況其變值又有可能代表任何測量單位。

 

因此，常將一般常態分配給予標準化，並建立標準常態分配（StandardNormalDistribution）的面積表，以供查表依據。

 

而所謂常態分配之標準化，係指將其變值與平均數間的離差（Deviation），以其標準差為單位來表示，即令z=（x－μ）/σ。

 

此z值表示該變值在平均數之上或下的標準單位數。

 

又因常態曲線係以平均數為中心呈兩邊對稱，故祇要有半邊構成的標準常態機率表，便可綜觀常態曲線下面積的全貌。

 

（曾碧淵）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=9562