【中華百科全書●科學●希耳伯特空間】
本帖最後由 楊籍富 於 2012-12-27 18:46 編輯 <br /><br /><P align=center><STRONG><FONT size=5>【<FONT color=red>中華百科全書●科學●希耳伯特空間</FONT>】</FONT></STRONG></P> <P><STRONG>一向量（線性）空間H稱為希耳伯特（簡稱希氏）空間（HilbertSpace）。</STRONG></P>
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<P><STRONG>即在H中可定義內積，且對於內積所導出的範數為度量（即距離），則H在此度量下為完備。</STRONG></P>
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<P><STRONG>詳言之，定義有內積之向量空間，稱為內積空間，完備的內積空間就稱為希氏空間。</STRONG></P>
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<P><STRONG>線性空間H的內積（InnerProduct）就是由積空間H×H映射到複數空間G的一種函數，記為（．,．），且滿足下列之條件：對任意向量x,y,z？</STRONG></P>
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<P><STRONG>H及複數λ？</STRONG></P>
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<P><STRONG>C，有下列條件成立：I1.(x,x)？</STRONG></P>
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<P><STRONG>0,若(x,x)=0,則x=0I2.(x y,z)=(x,z) (y,z)I3.(λx,y)=λ(x,y)I4.(方程式1)。</STRONG></P>
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<P><STRONG>由內積條件I1，我們可定義(方程式2)，這是一種函數∥．∥：H→R＋，即由H到正實數R＋的一種函數。</STRONG></P>
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<P><STRONG>這種函數很易證明能滿足：N1.(方程式3)N2.(方程式4)N3.(方程式5)N3的證明由Schwarz不等式(方程式6)及內積的定義可導出來。</STRONG></P>
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<P><STRONG>滿足N1～N3條件的函數∥‧∥稱為線性空間H上的範數（Norm）。</STRONG></P>
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<P><STRONG>由此範數，我們很容易在空間H上，可定義兩點x,y之間的距離：(方程式7)。</STRONG></P>
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<P><STRONG>希氏空間就是內積空間H對於距離d為一完備空間。</STRONG></P>
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<P><STRONG>換句話說，在內積空間H中之任何Cauchy點列｛xn｝收斂到H中之一點X，也就是當(方程式8)時，在H中存在一點X，使(方程式9)。</STRONG></P>
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<P><STRONG>這樣我們對希氏空間的定義該算完全了。</STRONG></P>
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<P><STRONG>希氏空間有許多好性質。</STRONG></P>
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<P><STRONG>它的起源是在西元一九OO年，有一位數學家希耳伯特，為建立積分方程式興富立葉（Fourier）級數之理論，從歐幾里得空間之概念推廣到（函）數列空間？</STRONG></P>
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<P><STRONG>及函數空間L2(R)。</STRONG></P>
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<P><STRONG>表示包含所有數列（實數或複數）(方程式10)能滿足(方程式11)者；</STRONG></P>
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<P><STRONG>顯然當x=｛xn｝,y=｛yn｝在？</STRONG></P>
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<P><STRONG>中時，內積可定義為(方程式12)其範數為(方程式13)。</STRONG></P>
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<P><STRONG>又L2(R)表示所有函數f滿足(方程式14)者。</STRONG></P>
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<P><STRONG>顯然f,g？</STRONG></P>
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<P><STRONG>L2(R)時，內積及範數分別可如下定之，即：(方程式15)。</STRONG></P>
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<P><STRONG>及L2(R)都是屬具體的希氏空間。</STRONG></P>
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<P><STRONG>一賦範空間，以範數∥x∥能使之形成一希氏空間，即在此可定義內積（ｘ，ｙ）使(方程式16)，其充分必要條件就是對任意向量x,y能滿足等式(方程式17)。</STRONG></P>
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<P><STRONG>在希氏空間H中之兩元素x,y互為直交的意思是（x,y）=0，此時記作x？</STRONG><STRONG>y。</STRONG></P>
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<P><STRONG>在H中互為直交的元素形成一集合？</STRONG></P>
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<P><STRONG>稱為直交集（或直交系）（OrthogonalSet〔Sytem〕），如果在直交集中之任意元素的範數為一時，稱此直交集為單範正交集（Orthonor-malSet）。</STRONG></P>
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<P><STRONG>任何直交集都可以正規化（即單範化），在一希氏空間中之最大的單範正交集，稱為完全的單範正交集（CompleteOrthonormal）。</STRONG></P>
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<P><STRONG>在一希氏空間中之完全單範正交集的基數（即計數）稱為H的維度（Dimension）。</STRONG></P>
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<P><STRONG>若=｛xi｝為H中給定的單範正交集，則每一個元素x？</STRONG></P>
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<P><STRONG>H內積（ｘ，ｘi）稱為X的富氏（Fourier）係數，這種富氏係數不為0者，至多為可數個i。</STRONG></P>
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<P><STRONG>對於任意x？</STRONG></P>
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<P><STRONG>H，則其富氏係數的平方和滿足(方程式18)，稱為Bessel不等式。</STRONG></P>
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<P><STRONG>如果=｛xi｝為完全單範正交集，則對任意x？</STRONG></P>
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<P><STRONG>H，稱此等式為Par-seval的等式。</STRONG></P>
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<P><STRONG>在希氏空間中之任意元素x，都可展成其富氏級數，即(方程式19)。</STRONG></P>
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<P><STRONG>定義在希氏空間H到複數體C的線性變換，稱為線性泛函。</STRONG></P>
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<P><STRONG>若H上的所有連續線性泛函的全體以H＊表示，則每一個f？</STRONG></P>
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<P><STRONG>H＊，必對應H中之一元素y使f(x)=(x,y)(？</STRONG><STRONG>x？</STRONG><STRONG>H)，這個結果稱為Riesz的定理，且由f？</STRONG></P>
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<P><STRONG>y之對應是一種等距離的同構映射，因此H＊＝Ｈ。</STRONG></P>
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<P><STRONG>在希氏空間中之閉線性子空間M？</STRONG></P>
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<P><STRONG>H，當可找到x？</STRONG></P>
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<P><STRONG>H，使(x,y)=0(？</STRONG><STRONG>y？</STRONG><STRONG>H)，這種X的全體自成一子集合，以Ｍ？</STRONG></P>
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<P><STRONG>表示，則H=M⊕M？</STRONG></P>
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<P><STRONG>（賴漢卿）</STRONG></P>
<P><STRONG></STRONG> </P>引用：<A href="http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=10194" target=_blank>http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=10194</A>
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