【『科幻奧秘』 [前沿]《命運骰子——量子力學簡史》】 - 第3頁 - 【理化2012年度資料】 - 【五術堪輿學苑】

江南布衣 發表於 2012-5-31 08:48:50

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【第42章槍手，冷雨夜：愛倫菲斯特擴散】 　　　
　（1） 1933年一個夜晚，荷蘭． 　　 性都阿姆斯特丹的淒迷燈光照亮了街道，大雨滂沱已哭成一個淚人，藍色的油紙傘下，一個50多歲小矮個子步履有些蹣跚，他把傘壓得很低，路人無法看到他的那雙帶著雨水的迷離眼神……他好象躑躅不前，似乎有什麼心事，只有他自己知道，他是一個維也納槍手。 　　　 “喂，進來做一個！”路邊妓院裡的小姐熱情地打招呼。 　　　 愛倫菲斯特教授偷偷得看了一下妓院門口的花燈，豔麗得象在流血。 門口的那個露著裙子被手指甲掛起露出肉色內褲的姑娘，有著如花的笑靨，她在朝他招手。愛倫菲斯特把臉轉向地面，看見地上雨水冒泡，好象是一個饑渴的路人在喝水一樣…… 　　 愛倫菲斯特咽下一口唾沫，他下意識地摸了一下褲兜裡的左輪手槍，步履匆匆朝下榻的旅館走去…… 他的小兒子正在旅館裡。 
 　　（2） 
 愛倫菲斯特悄悄地打開了旅館的房門，看見房間裡淩亂不堪，自己的小兒子正一絲不掛地站在凳子上仰望著天花板。 小兒子低頭用發散的瞳人看了愛倫菲斯特背後的牆壁一眼，罵道：“畜生！” 　　　 愛倫菲斯特沒有應聲，因為他的這個兒子有精神分裂症，腦電波是一根比較平坦直線，不象正常人是一根混沌起伏的曲線，因此打人罵人是經常的事情。 他看著小兒子耷拉的陰囊一眼，過來給他找衣服穿上－－想讓他死得體面一些。他彎下有點佝僂的腰，打開了放在地上的旅行箱。 　　　 正在這個時候，小兒子從凳子上跳下來，踹了愛倫菲斯特一個屁墩，一下就把愛倫菲斯特踢到在地上，他高聲嚷道：“call me god！” 　　　 愛倫菲斯特躺在地上，褲兜裡的槍也掉了出來，他拿起槍，仰頭看見自己的兒子的陰莖……還沒有等自己反應過來，一泡滾燙的尿液開始朝自己射來。 　　 “上帝啊！主啊！我愛倫菲斯特到底做了什麼孽！”愛倫菲斯特把槍對準了兒子的肚子，眼淚和尿液和臉上還沒有幹的雨水似乎夾裹了整個天地。 　　 愛倫菲斯特從地上爬了起來． 突然，他轉身把床上的棉被拿起來，猛地裹住了兒子的腦袋。 　　 槍聲響了。 　　　 他的兒子頭顱中彈，躺在了血泊之中…… 　　　 愛倫菲斯特跪倒在地上，看見兒子已經死了，抹了一把眼淚，用顫抖的手把槍口對準了自己的太陽穴。 
　 在臨死之前，他多麼想再看一下這個紅塵花花世界，從維也納走到阿姆斯特丹，自己花了一輩子的時間，命運起伏跌宕，多麼不易。 但現在時間已經不多，他要解脫了。 他想起的第一個人，是自己年輕時代的老師玻耳茲曼，那個自殺的統計物理學家——當時他在維也納大學上課歷歷在目，他跟隨玻耳茲曼學習熱力學中的分子運動論。 　　　 外面是漂泊的大雨正在打擊窗戶，上帝似乎正在窗外窺探，愛倫菲斯特朝窗口打了一槍。 　 玻璃落了下來。 　 愛倫菲斯特朝自己的太陽穴開了一槍……世界安靜了。 　　　 愛倫菲斯特的死在物理學界一石驚起千層浪，連愛因斯坦也暗地裡淌淚。 愛因斯坦還能記得自己當初在德西特教授的家裡和愛倫菲斯特開懷暢飲的情景。 德西特解出了愛因斯坦引力方程的一個解，這個解能夠描述的宇宙的尺寸隨著時間指數膨脹。 而愛倫菲斯特帶的兩個學生發表了電子自旋的文章。 雖然愛因斯坦也搞得淅瀝糊塗的，剛體才會旋轉（剛體自轉的運動一般情況下運動方程是解不出來的，被稱為不可積的），而電子好象是一個沒有大小的質點，怎麼會自旋呢？ 但也許這就是荷蘭的物理學家最傑出的工作了。 
 　　（3） 　　愛倫菲斯特是一個不被世人理解的人，1927年，量子力學剛出現，他就已經做出了傑出的貢獻，雖然外界對他的評價並沒有預期的那麼高。 　　　　 泡利與愛倫菲斯特是朋友。 在他們第一次見面時，艾倫菲斯特說：“我喜歡你的物理勝過喜歡你本人。” 　　　 泡利說：“我的感覺恰好相反。” 　　　　 其實，愛倫菲斯特是一個真正的傳奇。 愛倫菲斯特發現了一件很重要的事情，如果量子力學真的是萬能的，那麼，地球是圍繞太陽公轉的一個在橢圓上運動的波函數。 但愛倫菲斯特發現，這個波函數必然會擴散到全空間——也就是說，量子力學描述中，地球作為一個波函數不可能不爆炸開來。 這就是著名的愛倫菲斯特擴散，這個發現是那麼偉大，也許只有KAM定理中的阿諾德擴散才可以媲美。

江南布衣 發表於 2012-5-31 08:49:13

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【第43章永遠美麗尖挺的乳峰：不擴散的波包】 
　　 　　（1） 紅塵任它淒涼。 　 愛倫菲斯特永遠離開了。 但愛倫菲斯特的問題留了下來： 如果量子力學是萬能的，那麼地球是一個波函數——初始狀態下猶如一個18歲少女的尖挺的乳房，根據愛倫菲斯特擴散，隨著時間演化，地球要在全空間彌散開來——因為地球處於太陽的萬有引力場中，而這個引力場是平方反比的牛頓引力，因此，地球的哈密頓運算元下波包的演化必然要擴散——18歲尖挺的乳房在漫長歲月時間修飾下最後塌方了，後來少女變成老嫗，乳房和肚皮溶為一體。 　　　　 但地球現在一直好好的，並沒有擴散到全宇宙空間，因此，量子力學不可能應用到宏觀的天體力學問題上，這簡直已經是顯然的。 　　　 量子力學在微觀世界是一個很好的描述，為什麼在宏觀世界就不行了呢？ 到底那裡出了問題？愛倫菲斯特走了以後，沒有人再思考這個問題。 因為馮諾伊曼寫了一本量子力學的書，論證說量子力學在數學上是完備的理論。 （後來才被發現，馮諾伊曼犯了一個很低級的數學錯誤，那就是他居然認為兩個運算元和的期待值等於期待值的和,其實<A+B>=<A>+對於A，B不對易的時候並不成立的） 
 　　(2) 　　薛定諤深刻的感受到了其中的悲哀。 他的腦子也有點亂掉了－－他能看到的量子力學是一片無邊的荒漠裡的一個孤墳，早已經死亡，獨留青塚向黃昏． 　 只不過他並也不確定量子力學能不能應用到宏觀物體，於是，腦子很亂的他一心只想著把事情搞砸，讓玻爾他們下不了臺階。 於是，在1935年,也就是愛倫菲斯特屍骨未寒的兩年裡,他得到了另外一個版本的故事，這在歷史上自然被很多民間科學家奉如神明。 　 民科A君：“薛定諤的貓，真是太微妙！” 　 民科B君：“是啊，微妙呀。我喜歡。” 　 薛定諤的貓基本闡述是這樣的 “設想有一個箱子，裡面有一隻活貓。 一個裝有鐳的容器及一個裝有氰化物的小瓶也放在箱子之中。鐳原子會發生衰變。 在這個裝有活貓的密閉的箱子裡，如果鐳發生衰變，幾打碎瓶子，使氰化物從小瓶之中釋放出來，從而殺死貓；如果鐳不發生衰變，小瓶也不會破碎，貓會活下去。 按照哥本哈根解釋，在打開箱子看貓的死活之前，貓既是死的，也是活的，因為兩種可能性都存在。 而且，箱子中的貓會保持這種既死又活的狀態，直到有人打開箱子，發現貓要麼是死的，要麼是活的為止。” 　 其實,貓這樣的宏觀物體根本就不可以簡化為一個波函數來描述,在量子世界裡,貓和地球一樣,都是很大很大的研究物件。 不過，薛定諤也不是傻子，他這樣搞只不過是想嚇唬嚇唬玻爾海森堡那些庸俗量子物理學家，因為後者聲稱量子力學太完美了。 薛定諤是一個詩人，有變態心理，別人都說一個東西好的時候，他一定會覺得這個東西庸俗不堪的。 　　 薛定諤把貓從他的籠子裡放出來，果然很有效果，這個貓象瘋狗一樣咬人，連海森堡也不知道怎麼用哥本哈根解釋來描述這個瘋貓了。 　　　 海森堡說：“老薛，你這個淫魔，行，你的瘋貓確實很厲害的。” 
 　　(3) 薛定諤太高興了，因為他知道海森堡他們已經在量子力學道路上走火入魔，根本不可能意識到，貓這樣的宏觀物體，也許不可以用波函數來描述的。 海森堡之流，就好象是《天龍八部》裡的糾摩智，為了練六脈神劍，已經連女人也不要了，還得了抑鬱症。真是可笑可笑啊。 　　　 薛定諤早已經構造了一個永遠尖挺的乳房——一個不擴散的波包，不過不是在平方反比引力場中，而是對於彈簧振動，他可以構造出一個量子力學波函數（稱為相干態,在空間上具有高斯分佈的形態，在經典物理中，孤立子就是不擴散的波包，這其實是一種擴散和凝結相互平衡的能量狀態），這個波函數的描述的彈簧振動確實有一個不擴散的波包，在薛定諤看來，這其實很好地描述了一個少女的乳峰來回晃動但不擴散的情景。　 　　 薛定諤寫了一個詩歌： 　　　 啊，乳峰 　 來回晃動 　 但不擴散 　　　 永遠美麗 　 堅挺 　　　　　 地球 　 去你媽的 　 擴散與吧 　　　 我愛乳峰

江南布衣 發表於 2012-5-31 08:50:03

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【第44章從薛定諤到史溫格】 　　　 　　（1）   
薛定諤早在1926年就得到了相干態---就是描述乳峰來回晃動的那個永遠不會擴散的量子力學態。 其實無論是乳房晃動，還是彈簧的振動，在物理學裡，都被換了一個高深莫測的名字——簡諧振動——這背後站著牛頓的死敵胡克。 牛頓一輩子到處樹敵，他沒有朋友，因為在他眼睛裡，人真的只分兩類：傻子和大傻子。 　　 
回頭來說薛定諤，他把乳房相干態寫了出來（在座標表像，相當於把一個向量寫成坐標系裡），我們也可以不要座標表像，可以把相干態記為dirac符號| 乳房> 。 　
最有趣的事情已經要從灰濛濛的天空裡降落下來了。以下的過程可以也許被稱為“從天上掉下來的半個超對稱”。 　　　
| 乳房> 態描述的是一個不擴散的波包。那麼薛定諤認為，這個態也許是某一個運算元A 的本征態。 　　　
A | 乳房> =a | 乳房> ？ 　　　
上面這個運算式能成立嗎？ 　　　
現在的問題是，運算元A到底是什麼東西？ 
薛定諤在尋思。他手裡有的東西只有兩個。 　
1。H=X2+P2 （為了書寫方面，著者省了常數1/2） 　　
2。=ih 
前者表示乳房諧振子的哈密頓運算元。 
後者表示基本的代數關係（外爾-海森堡代數）---所謂代數關係，其實是一個運算的封閉系統，打個比喻，X和P是一個籃子的蘋果和梨，ih也是同一個籃子裡的其他水果，反正籃子晃來晃去，但水果還是在籃子裡。 　　　
廢話少說，薛定諤的問題是，找到作用在| 乳房> 上的一個運算元----對乳房的一次操作（比如撫摩，親吻，或者外科手術），但是，要保證操作以後乳房依然是乳房，乳房不能受傷，或者變成臉蛋-----那麼，這個操作被稱為運算元A。 
 　　（2） 　　
到了1942年，薛定諤已經不僅僅沉迷於乳房研究，他已經老了。對自己的一輩子有了很好的評價： 　　　
重劍無鋒大巧不工四十歲前恃之橫掃天下 　　　
四十歲後不滯於物草木竹石皆可為劍 　　　
作為一個55歲的老頭，性欲已經減退。 他已經可以拿起草木竹石當武器了，他不想再使用重劍（薛定諤偏微分方程），但他發現，簡諧振動的能級可以用代數解答寫出。 什麼叫代數呢？ 就是沒有微積分的數學演算。 比如因式分解（草木竹石）。 　
H=X2+P2 可以被因式分解為 　　　
H=（X+ip ）（X-ip ） 　　　
他換了一個記號 　　　
A=X+ip 　 　　
解出了能級以後，還可以檢驗 A | 乳房> =a | 乳房>成立。 　　　
A被稱為湮滅運算元，因為這個運算元對真空態的作用為0。 　　　
A| 真空>=0 　　
　　（3） 　　
後來，有一個紐約客，在一個野雞大學讀書，天空整天灰濛濛沒有未來，這個人叫史溫格。
 這個人非常神奇，數學水準很高，沒有人懷疑他比他的同學費曼要聰明一些，簡單地說，史溫格是量子電動力學的奠基人之一。 他後來能模仿薛定諤的手法，能把泡利的角動量代數也用類似的方法實現出來。

江南布衣 發表於 2012-5-31 08:50:27

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【第45章愛因斯坦: 去普林斯頓】 
　　 　　(1) 1930年代量子力學在歐洲的發展被希特勒終結. 希特勒派人搜查了愛因斯坦的寓所,引起愛因斯坦的不滿. 因為再也無法忍受德國的魑魅魍魎,愛因斯坦離開了歐洲. 　　　 美國的普林斯頓高等研究所,剛剛建立就引來了一個科學明星. 　　　 愛因斯坦早已經知道自己是科學明星了,早在1917年他已經可以與希爾伯特那樣的數學巨人並肩站立. 在哥廷根和希爾伯特站在一起的時候,他講解他的引力場方程的時候,內心深處有一個無比的困惑,那就是這個方程能不能夠從一個作用量裡推導出來. 　　　 希爾伯特用一種蜻蜓點水的方式,寫出了愛因斯坦--希爾伯特作用量 　　　 S=int R dV 　　　 其中R是時空上的裡奇標量曲率(不依賴坐標系),int --dV 是對不變體元的一個積分. 這個作用量寫出來以後, 對度量的微小變分就可以得到愛因斯坦引力方程. 　 但這也引起了以後物理學歷史上的大部分紛擾: 這個變分不象其他那些平坦空間上的物理場的作用量變分那樣得到歐拉--拉格朗日方程. 
 　　(2) 
 無論怎麼樣,愛因斯坦已經成為物理學江湖上獨一無二的大佬已經有很多年了,所以他去普林斯頓就算以釣魚或者睡覺度過餘生,研究院也不會心存芥蒂. 這個時候其實歐洲科學中心真的已經遷徙到美國,美國人奧本海默和惠勒則成為最可以被美國人信賴的美國物理學家,也紛紛從歐洲回到了美國組建各自的團體. 命運自然是各自精彩. 　　　 愛因斯坦到了普林斯頓,有了一個美國人做學術助手,這個人就是羅森. 　　　 機緣很是巧合,另外有一個美國人叫波爾多斯基. 他找到愛因斯坦,討論起量子力學,很想整死量子力學.不久,經過長時間的討論. 波爾多斯基一個人寫了一篇文章,這就是著名的EPR文章. 　　　 其實說起來很簡單. 　 如果有兩個粒子.座標和動量分別滿足 　　　 =ih 　　 =ih 　　　 一個潛在的數學關係馬上可以寫出來: 　 =0 　　　 這就是波爾多斯基寫的那篇EPR論文的精神實質. 寫完以後,波爾多斯基說:"愛因斯坦教授, 我寫了你和羅森的名字,去哪裡發表好?" 　　 愛因斯坦說:"<物理評論>,從來沒有投過,看看吧.我以前的文章全發表在歐洲." 　　 不久,<物理評論>的編輯們發表了這個文章. (愛因斯坦的文章,不需要審稿,審稿會得罪愛因斯坦) 
 　　(3) 　　文章出去以後,江湖再次震驚,因為愛因斯坦他們做數學的時候把兩個粒子的希爾伯特空間乘了起來. 這沒有關係,但他們看物理的時候,又似乎把兩個希爾伯特空間分了開來,江湖上大亂,大家的腦子真的亂掉了. 　　　　 因為當時候, 人們還沒有很深刻的觀念: 量子力學態(波函數)是希爾伯特空間裡的向量. 　 　　 江湖上亂了好久, 因為愛因斯坦他們3個人的文章其實是充當子彈的,要打的人就是玻爾. 　　　 他們的文章提出了一個連鬼見了也害怕的問題: 量子力學中存在非局部性(其實不等於超光速,不過也可以認為是超光速)相互作用嗎? 　　　 這個世界上, 相隔遙遠的物體之間不可能瞬間存在相互作用, 這是狹義相對論的精神實質,也是牛頓幾百年來的隱憂,現在突然又怎麼回來了呢? 
 　　(4) 　　
愛因斯坦沒有停止自己的研究工作, 他的幫手羅森還真是一個人才, 很快,他們就出了另外一個在廣義相對論上的文章, 這個文章說: 時空流形之中,可能可以存在一個快速綠色通道----這被稱為愛因斯坦--羅森橋, 也就是蟲洞,通過蟲洞你可以很快實現遠距離傳輸. 　　　 整個世界被震驚了,因為神秘的超光速就好象姦情一樣籠罩過來. 很多人紛紛放下手頭的事情,開始了姦情研究.

江南布衣 發表於 2012-5-31 08:50:46

本帖最後由左輔於 2012-6-4 02:02 編輯 【第46章 1940年代：經典場的腐朽 】 
　　 　　(1) 
 愛因斯坦其實是一個經典場論的極頂高手, 他到了普林斯頓以後,人生已經步進晚年。 經過幾次婚姻，換過幾次新娘，娶了表姐當老婆以後，愛因斯坦已經開始考慮和秘書發展曖昧關係。 
　 當人生變得恬淡，他所要做的事情，就是把引力場和電磁場統一起來，這就好象要把全國的麥當老和全聚德烤鴨店統一起來一樣，難度可想而知。 　　　 1940年代是一個戰爭的時代，一切都在被捲進大歷史的旋渦，原子彈工程捲進了大部分在美國的科技人員，除了被懷疑為土共秘密分子---加洲伯克利的奧本海默的博士生，住在溫伯格同學隔壁宿舍的——玻姆同學。 也就在這個龜毛的年代，量子力學的發展在美國有了新的進展，這個進展其實與普林斯頓大學的惠勒的一個博士研究生有關係。 在歷史上，因為博士論文而影響歷史的人並不是很多，除了德布羅意，就是費曼。 　　 為了看清楚創造歷史的人們已經真的進入了1940年代，我們來看看幾個人物的出生年代。 　 1。惠勒（1911年） 　 2。玻姆（1917年） 　 3。費曼（1918年） 　　　 這些1910年代生人與1900年代出生的那群所謂創造量子力學新理論的“處男物理學”家還是有所不同的。 他們在成長的過程中廣義相對論和量子力學的大格局已經基本奠定，在某種意義上，舞臺已經搭好了，你要想演戲就自己爬上臺去。 但如果你想把舞臺拆了，那簡直是萬分不可能的。 
 　　（2）
　　 1940年代是一個戰爭年代，一切當然是以戰爭為主，新一代物理學家們還在萌芽裡，新一代物理學家的基本任務是建立無限維空間上的量子理論——-或者說量子場論。 但本書的主題是量子力學，我們還是要圍繞主題的。 　　　 因為量子力學在很多場合被認為是正確的物理理論，而量子理論中，相空間描述已經腐朽（座標和動量都不是函數，而是運算元），這意味著一個沉痛的悲哀，那就是----經典場論已經不可避免得腐朽。 麥克斯韋的電磁學和愛因斯坦的廣義相對論，被稱為經典場論，在當時看來，就象2個殘花敗柳。 　　　 量子力學就象一個冰肌玉骨小姑娘一樣被捧了起來，但問題在於，如何處理那兩個殘花敗柳。 　　　 人們需要兩個理論： 　 1。量子化的電磁場理論 　 2。量子化的引力場理論 　　　 人們當時的處境： 　 3。只有一個量子力學（薛定諤表示被認為是不對易關係式的唯一表示，只有一種量子力學） 　 4。還沒有量子場論 　　　 戰爭的陰霾遮住了物理學家們明眸善睞的眼睛，他們也很迷茫。 就在這個迷茫的時代間隙中，大瘋狂和接下來的大蕭條將造就日本的忍者神龜，小平邦彥和朝永振一朗，也將把美國學者推上時代的顛峰。 而中國人也很著急，對於中國人來說，死亡隨時可能降臨，不想被殺，那就上吊自殺，在上吊之前，有的人要先喘一口氣，楊振寧也在1940年代坐上去美國的船。 　　　 楊振寧在心裡對自己的最愛的祖國說：“如果多一張船票，你願意不願意一起走？” 　　　 這就是1940年代的風景。 
　　（3） 　　
為了很好的量子化電磁場，我們目前還需要有一些基本的知識。 這些基本的知識其實很簡單，就是電磁場不但可以用電場E 和磁場B描述，還可以用它們的勢 A 和phi 來描述。 　　　 簡單地說，對 A 和phi 求微分，就得到電場E 和磁場B。 　　 打個簡單的比喻是， A 和phi 是父親和母親，電場E 和磁場B是兒子和女兒。 電磁學好象是這個家庭，你想瞭解這個家庭，可以研究父母，也可以研究子女。 　　　 但為了後面的敘述方便，這些有一些微妙的東西需要思考。 最重要的一個問題是： 如果你看到一個點電荷產生的平面電場，你能不能從電場中看出這個電場是由一個點電荷產生的 
 　　（4） 　　
如果你繞著上面的點電荷在平面上走一個圈，你會發現電場的方向在轉動。 早在龐加萊年代，龐加萊就研究了這個問題，他定義了一個環路積分。 　　　 int d{向量轉動的角度}===向量場的指標 　　　 這被稱為poincare指數。從這個指數裡，你可以看出，電場其實是由一個點電荷發出來的。 如果你選擇的的環路不包含點電荷，那麼這個積分出來的poincare指數就等於0。 　　　 這個指數也被稱為hopf--poincare指數。 這種積分可以對電場來做，也可以對磁場來說，無論怎麼樣，這是經典電磁場論中最精彩的部分。 而引力場因為遠比電磁場複雜，你要發現引力場的一些幾何性質，需要等到1960年代，那時候彭羅斯從山上下來，給腐朽的經典場帶來新傳奇。

江南布衣 發表於 2012-5-31 08:51:05

本帖最後由左輔於 2012-6-4 02:02 編輯 　　【第４７章  昨夜西風凋碧樹】 　 　　（１） 　　
王國維曾經說過，　讀書有３種境界．讀者們看到這裡，　一定已經有了第一種境界，那就是＂昨夜西風凋碧樹，獨上高樓，望盡天涯路＂． 　 量子力學是一條漫漫無跡的道路，比如量子計算，量子混沌，量子光學，量子黑洞，量子布朗運動，反正你可以想出來的學科，都可以有一個量子理論與之對應－－比如還可能有一些比較象偽科學的＂量子金融＂，可以把經典隨機變數換成量子變數，然後來做股票研究，但如果你把研究結論利用起來，投身中國股市，你將輸得只剩一條內褲．　總之，量子力學博大精深，海納百川，也是藏汙納詬的地方，這本書讀到這裡，只體現出了王國維所說的第一層境界． 　　　 讀者們在前面的章節已經讀到愛因斯坦－希爾伯特作用量，也許覺得有點突兀．其實，本書中會不斷談到廣義相對論和其他的幾何學思想，所以一切在情理之中的． 　　　 為了在下面的章節談論路徑積分，在這一章要先熟悉一下拉格朗日力學． 　　　 如果可以，我們想問這樣的問題： 　 １．假如牛頓沒有發現萬有引力，那麼誰會發現它？　 　 答案是－－－牛頓． 　 ２．假如牛頓沒有發現牛頓第二定律，那麼誰會發現它？ 　 答案很可能是－－－－拉格朗日． 　　　 眾所周知的事情是，拉格朗日在很年輕的時候，　已經很有才情，　但他並不著名，為了出名，他給當時還活著的大數學家歐拉寫了一封信． 信裡說，我找到了等周問題（給一根繩子，你圈最大面積的土地）的解答，　我把這個方法取了一個名字，就叫＂歐拉－－拉格朗日方程＂．　 　　 從此，江湖上大為吃驚的是，一個默默無聞的年輕人，寫有一本書叫＜分析力學＞，這個書的作者的名字居然和歐拉放在一起． 　 這相當於現在有一個小癟三，把自己的名字和楊振寧放在一起，發表一個定理是一樣的． 　　 
　　（２） 
拉格朗日的＜分析力學＞是一個公理化體系． 他的書沒有一張圖，但經典力學已經被發展成為數學分析的一個分支． 這在某種意義上來說，是集大成之作品，對當時代的人來說，這個書裡只有一樣東西，那就是拉格朗日量． 　　　 為了談論方便，我們以具有動能Ｔ的單粒子在任意勢場Ｖ中的運動來寫出拉格朗日量Ｌ： 　 Ｌ＝Ｔ－Ｖ 　　　 拉格朗日量是廣義座標和廣義速度的函數，粒子的運動方程就是歐拉－－拉格朗日方程． 
當然，有了方程以後並不是說這個方程一定可以解出來，只有找到足夠多的物理上的守恆量，這個歐拉－－拉格朗日方程才是可以在位形空間裡確定出一根一維的軌道． 　　　 那些歐拉－－拉格朗日方程可以被解出來的物理系統被稱為＂可積系統＂． 這才是真正的物理學． 如果沒有可積系統，那麼物理學家的人數會和大街上開出租的一樣多． ＂可積系統＂淘汰掉大量不適合搞物理的人轉行進入新的領域． 
 　　（３） 
　 經典物理學同時是一門簡單的學科，拉格朗日量可以作證． 任何人只要懂得了拉格朗日，做經典物理就象做愛一樣簡單．　 一般來說，拉格朗日量的時間積分是作用量Ｓ． 　　　 經典物理學的簡單性體現在，系統的動力學在作用量Ｓ取最小數值的時候發生． 　　　 這被稱為最小作用量原理． 　　　 幾何學裡，還有一個原理，那就是在彎曲流形上的兩個點，它們之間的距離以測地線為最短． 這就是費馬原理． 　　　 阿諾德的書＜經典力學的數學方法＞非常精彩，看這樣的書才可能提高中國人的學術水準，因為這是拉格朗日數學分析思想的延伸． 　　　 拉格朗日告訴我們，軌道的作用量最小，而阿諾德告訴我們，我們可以把位形空間看成是一個微分流形，我們可以從拉格朗日量中構造出這個微分流形上的黎曼度量，從而把運動軌道看成是這個黎曼流形上的測地線． 　　
（４） 　　 昨夜西風凋碧樹，經典力學雖然已經死亡，但它活著的時候，它曾經獨上高樓，望盡天涯路． 它一直在等待著量子力學時代的到來．而量子力學，當然是經典力學量子化以後的結果，雖然這背後有很多微妙的東西．　 比如一個大角度的單擺，量子化起來就蠻麻煩的． 　　　 一些物理學家在內心深處有一個感覺，＂量子化程式，伊真是不厚道的．＂

江南布衣 發表於 2012-5-31 08:51:19

本帖最後由左輔於 2012-6-4 02:03 編輯 　　【第48章路徑積分：子宮內的布朗運動】 　
　　（1） 　 大四那年。 　 人生黯淡，沒有刹那芳華。 　　　 蘇黎世聯邦理工學院的校園裡，一個女生和一個男生靠得很近，女孩子看上去走路有些異樣，如果不是腿傷的話，她明顯是一個瘸子。 　　 “我好象懷孕了。” 米勒娃忐忑不安地說，“這個月沒有來月經啊” “啊？怎麼會這樣？” 那個小鬍子的卷毛，名叫愛因斯坦的男生說， “這可怎麼辦？你畢業論文還沒有寫呢。” 　　　　 “怎麼辦呀？”女孩子停住了腳步，問。 　　 “你回你老家，把孩子生下來，我繼續找工作。”男生說。 此刻共對無言…… 女孩子什麼也不說，轉身就走掉了。 　　 愛因斯坦好象霜打的茄子一樣，一個人走在蘇黎世的街上，就好象走在原始森林，倍感到孤獨無依，凝望著女朋友離開的背影，想起床上雲雨的點點滴滴，如今已經都成空虛負累。 愛因斯坦想著想著，淚水猶如雨一樣灑在面前。 最近時運不濟，工作也找不到，父母也不喜歡米勒娃，這簡直讓他有些崩潰。 　 
　　（2） 蘇黎世的咖啡店還開著，公園裡的旋轉木馬還轉著，遊樂場的摩天輪還在上上下下。 市井依然繁華，但人生已經黯淡。愛因斯坦走走想想，突然蹦出一個念頭。 　　 “韋伯，我的死是你害的。” 　　 韋伯是愛因斯坦在物理系的老師，對磁場有些研究，他上課的時候老說，磁場雖然是研究看不到的，但根據法拉弟的力線，這個磁場可以在黑板上畫出來，那就是一條一條的線條----這是向量場的積分曲線——韋伯說，這些曲線可以穿過一個面，然後定義一個流量，這個流量作為一個物理量，量綱就是韋伯。 　　 愛因斯坦想起這些，覺得萬分的噁心，因為他大學裡老是學這些東西，而這些東西早在高斯那個年代就已經搞清楚了。至少是70年前的陳芝麻爛穀子的事情了。 　　 愛因斯坦茫然地走著，街道上的電線杆上貼著很多小廣告，他就停下來看看有沒有什麼打工兼職做家教的機會。 不過這些廣告一般是治療性病的廣告，這讓愛因斯坦很是惱火。 這想一頭撞電線杆上磕死算了，韋伯也不能給自己介紹工作，如果這樣下去，過不了幾個月，自己將花光所有的錢，然後死在大街上。 
 　　（3）
 “你在幹什麼？” 一個熟悉的聲音在電線杆邊上問到。 愛因斯坦把頭抬起來，抹了一下眼淚，說： “你怎麼回來了？我在思考問題呢。” 米勒娃說：“思考什麼問題？” 愛因斯坦說：“磁場的問題。韋伯這個傢伙，不是說我不愛學習嗎？” 米勒娃說： “哦。 ——真的要把孩子生下來嗎？ ——你說，你怎麼搞的，我怎麼會懷孕啊。 我要是回老家生孩子，真是丟死人了。 一個大姑娘，還沒有結婚，就一個人回來生孩子了。” 愛因斯坦說：“沒有什麼好丟人的。” 　　 米勒娃說：“怎麼不丟人！都是你的錯。” 　 愛因斯坦說： “我……我也不知道為什麼會懷孕啊。 這到底是一個什麼樣的過程？ 子宮裡到底發生了什麼事情？ 我要用物理學來描述這個過程。” 　　　 米勒娃說： “可能和電磁場差不多吧，相互感應上了。 就象兩個點電荷一樣，它們之間存在很多很多看不到的連線。 把這些連線的總的作用效果加起來，就是電荷之間的相互作用。 這其實是一種對路徑的積分吧。” 　　　 愛因斯坦聽到這裡，感覺米勒娃真是物理學上少有的奇女子，她現在懷孕了，以後生出來的孩子，一定也是物理學上很有想像力和洞察力的人。 想到這裡，愛因斯坦感覺非常得寬慰，說： “子宮裡也發生了一種路徑積分，就是我有一個精子，你有一個卵子，它們之間通過電場線一樣的東西相互作用了。 …………不對，應該是有很多很多個精子，很多很多條路徑……” 　 　　 愛因斯坦拉起了米勒娃的手，感覺到一種光滑的溫暖。 
 　　（4） 　 大約在5年以後，愛因斯坦完整地建立了一個模型，私下裡，他認為這個模型很好得描述了精子在射精以後在子宮裡的擴散運動。 他把單個精子的布朗運動的軌道用隨機變數寫了出來，發現事情非常簡單，那就是很多高斯隨機變數的和還是高斯隨機變數。 如果有很多很多個精子，那麼，這是一個系綜（樣本空間），愛因斯坦發現概率密度的演化滿足的居然是很簡單很簡單的方程——熱傳導方程。 （熱傳導方程是非常自然的擴散方程，隨著時間的推移，分佈會越來越均勻，換句話說，最後精子會在子宮裡均勻分佈。一般動力系統，如果我們用frobenius--perron 的運算元來做的話，我們最後得到概率分佈函數滿足劉維爾方程。） 　　 在本書的第二章，我們已經熟悉了這個方程。 愛因斯坦做完這個東西，花了5年的時間，文章發表以後，他就名垂青史。 這個時候他和米勒娃已經結婚，但當初的那個孩子送給了別人。 　　 “那時候太窮了，連飯也吃不飽，把孩子也送人了。我真是一個失敗的丈夫，一個糟糕的父親。” 愛因斯坦每當想起自己的第一個孩子，都是淚流滿臉。　 　　 學術上的造詣卻越來越高，米勒娃真是一個學術上最好的搭檔，還幫助愛因斯坦建立了狹義相對論。 她最高興的事情不是在學術文章上署名，而是看見愛因斯坦因為發表了文章而能露出笑容。 
 　　（5） 　 日子就這樣過去了。 很多年以後，當電機工程師維納看到愛因斯坦關於布朗運動的文章，覺得這事情太難理解了，他不喜歡物理學的那種方法，於是想在函數空間上建立一個嚴格的維納測度，來做布朗運動的路徑積分…… 　　　 此去經年，往事都在費曼的眼中。 他當然知道維納的工作，也相信如果真的要做路徑積分，那麼路徑應該是連續但不可微的，這樣的積分測度是要存在的。 不過，做物理有的時候不需要那麼嚴格，生活要繼續下去---做物理的膽子一定要大一些，餓死膽小的，撐死膽大的。 當他寫完自己的博士論文，真正做出路徑積分的時候，他去給泡利，維格納，玻爾他們講解，這些大牛人都被認為費曼的東西在數學上粗糙得一塌糊塗，在物理上錯得一塌糊塗。 這是後話，暫且不表。

江南布衣 發表於 2012-5-31 08:51:32

本帖最後由左輔於 2012-6-4 02:03 編輯 　　【第49章：伯恩克拉姆大街49號】 　　 　　（1） 　　 
1903年1月6日，愛因斯坦和大學同學、出生于塞爾維亞的女物理學家米勒娃結婚。 是年秋天，幾經搬遷，他們最終選擇了伯恩老城中心的克拉姆大街49號三層的公寓。 　　　
這個時候，愛因斯坦終於有了一個穩定的工作有了一個家，大家如果仔細體味他經歷的辛酸曲折，耳邊會響起信樂團的歌〈海闊天空〉： 　　 
海闊天空　 　　
我曾懷疑我走在沙漠中 　
從不結果無論種什麼夢 　
才張開翅膀風卻便沉默 　
習慣傷痛能不能算收穫 　　
慶倖的是我一直沒回頭 　　
終於發現真的是有綠洲 　
每把汗流了生命變的厚重 　　
走出沮喪才看見新宇宙 　
海闊天空在勇敢以後 　
要拿執著將命運的鎖打破 　
冷漠的人 　
謝謝你們曾經看輕我 　
讓我不低頭更精采的活 　　
淩晨的視窗失眠整夜以後 　
看著黎明從雲裡抬起了頭 　
日落是沉潛日出是成熟 　
只要是光一定會燦爛的 　
海闊天空狂風暴雨以後 　
轉過頭對舊心酸一笑而過 　
最懂我的人 　
謝謝一路默默的陪著我 　
讓我擁有好故事可以說 　
看未來一步步來了 
　　 　　（2） 
愛因斯坦白天在專利局上班，晚上在家裡上床，老婆馬上又生了一個孩子。 因為專利局的工作甚是清閒，使得他有大量時間思考物理學。 　　
“老婆，我真的很感謝格羅斯曼同學，他介紹的這個工作真是不錯。” 愛因斯坦說。 　　
“對，我們應該有感恩的心。格羅斯曼是我們生命中的貴人。 你現在有這樣的成就，我真的好高興。 ” 米勒娃說，對她來說，能在一個陌生的城市找到屬於自己的男人和一個家，已經是很好的結局。 　　　
愛因斯坦於是天人合一的用瑪律可夫過程開始做出了布朗運動，並且他還開始思考光電效應。 最重要的工作也馬上誕生，那就是狹義相對論。 　　　
狹義相對論和量子力學是兩門不搭界的學問，也就是說，如果相對論是錯的，量子力學也可能是對的。 不過，本書的定位是最後要走向彭羅斯的扭量理論，所以狹義相對論是一個繞不過去的存在。到底什麼是狹義相對論呢？ 　　
愛因斯坦的狹義相對論是這樣說的： 　
1。有品質的物體，它的運動速度在不同參考系中是會變化的。 　
2。無品質的物體，它的運動速度在不同參考系中是不會變化的，都是光速。 　　　
愛因斯坦的數學老師，閔科夫斯基，把愛因斯坦的說法翻譯成了數學家都能理解的語言： 
狹義相對論就是一個（偽）3球面上的轉動群，轉動群保持光錐不變。 
 　　（3） 　　　
但對愛因斯坦來說，這僅僅是故事的開始，狹義相對論告訴他： 
如果你在伯恩的街心花園廣場朝天空撒一把沙子，這把沙子的世界線會一直在街心花園廣場的未來光錐中畫出一條一條無變化的直線。但真實的情況是，引力不能被忽視，這些世界線在引力的作用下將變得彎曲……也許還可能相互糾結…………非常漂亮的圖像。 　　
顯然，如何把萬有引力和狹義相對論結合起來，成了一個最大的問題。 這個問題是沒有人想過的，只有愛因斯坦一個人在思考。 可惜，愛因斯坦感覺到自己的幾何學知識，完全不夠。他不知道如何來描述一根被引力場彎曲的世界線。 
 　　（4） 
　　
如果從更加宏大的視野來看物理，世界線和路徑積分的路徑，都可以看成是流形上的曲線。 　　　
對於當時的愛因斯坦來說，流形還是一個前沿的數學概念，整個物理學界對數學是排斥的。 物理學家不會在乎數學家到底在做什麼，除非有人能把數學半島和物理半島之間的橋樑建立起來。 　　　
當時物理學家的基本數學水準，就是經典傳統的向量分析。 　　　
向量分析是平坦空間上的一些向量場的微分和積分運算。 如果讀者們依然有宏大的眼光，那麼簡單地說，這一套東西其實可以概括為一個英國諾丁漢麵包師的工作。　 　　
這個麵包師傅，就是格林。 　　　
格林小學還沒有畢業，就去幫忙和父親一起做麵包了。 這有點象當年江蘇的一個小雜貨店裡的華羅庚。 　　　
一個人如果沒有理想，那麼和鹹魚沒有區別。 作家余華曾經在浙江一個小縣城海鹽做牙科醫生，專門給人拔牙，看過千千萬萬的口腔，正如一個婦科大夫看過千千萬萬的陰道，已經倍感噁心。 余華說：“難道我一輩子就這樣子了嗎？我要寫作。” 　　
當時的麵包師傅格林也一樣，他看到麵包已經反胃，他心想：“難道我一輩子就這樣了嗎？我要做向量分析。” 過了很久，等他父親死了，他賣掉了麵包店，開始去大學讀書。 他心裡已經早已經有了很重要的數學結論。 　　
格林是一個有譜青年，他的格林公式說：“向量場的沿著一個封閉曲線積分，等於這個向量場的微分在封閉曲線的內部積分。” 　　
他的結論可以被推廣到高維。 他自己本人是做了2維和3維。 當然，無論格林有多麼牛比，他無法超越時代，如果我們還換句現代的語言來說，這就是微分幾何裡最基礎的對偶定理。 　　
伯恩克拉姆大街49號的愛因斯坦斜倚在床上，他在紙張畫啊畫。 他想把世界線也寫成向量的積分曲線，然後讓世界線彎曲起來。 可惜他的數學水準，和一百年前的麵包師傅是一樣的。 　　
愛因斯坦很是苦惱。

江南布衣 發表於 2012-5-31 08:51:46

本帖最後由左輔於 2012-6-4 02:04 編輯 　　【第50章引力場中的路徑】 　　 　　（1） 　　
愛因斯坦躺在床上，思路百轉千徊，畫在草稿紙上的世界線似有千千結。 他不知道如何把狹義相對論和引力場結合起來----讓那些世界線如同舞女一樣扭動彎曲曼妙的細腰. 想著想著，也就沉沉得睡著了。 　　 這是1907年的情景，愛因斯坦還是伯恩專利局的職員，他有一個叫貝索的哥們，也在這裡上班。 他經常和貝索一起討論學術問題----說實話他發現貝索雖然和自己職位相當，但智商確實比自己低了一點點。 　　
這時候狹義相對論已經給他贏得了聲譽，一些大學開始邀請他去當教授。 　　　　
廣義相對論其實是描述萬有引力的一門學問。 愛因斯坦後來出了名以後，有一群大傻子經常問他到底什麼是相對論。 愛因斯坦不勝其煩，於是這樣給普羅大眾介紹相對論的，他說： “引力不是人們墜入愛河的原因所在。 人世間，初戀是如此重要的生物現象，你怎麼可能根據化學和物理學來解釋呢？ 把手放在火爐上一分鐘，你會覺得像一個小時那麼久。 而和你心儀的女孩偎依在一起一個小時就像一分鐘那麼短暫。這就是相對論。” 　 　　
結果大多數白領聽了這段話以後，唯一能記住的是最後那一句另人有性萌動的話。 如此看來，販夫走卒引車賣漿之徒更無法真正理解愛因斯坦。 　　　
引力場為什麼那麼難懂呢？ 因為引力場實際上不能用一個標量函數來描述，而是一個4乘4的矩陣。 在某種意義上，我們也可以稱愛因斯坦的廣義相對論是一種“矩陣場論”。 
 　　（2） 　　
牛頓是把引力場（勢能）看成一個標量函數的。 這個標量函數滿足的是拉普拉斯---泊松方程。 歷史的發展並不那麼生猛----歷史的發展是緩慢的,是一段一段很輕很柔和的舞曲。 　　　
慢慢地說，我們要先來看一看牛頓引力場中的物體運動的路徑。 　　　
為了簡單起見，我們在地面上做物理，那麼萬有引力場的大小可以被看成是一個常數。 這稱稱為重力場。 這已經是最簡單最簡單的初中物理了。　 　　
在這樣的重力場中，大師傅伽利略上場了。 他和惠更斯一起，盯著教堂裡的鐘擺看了很久很久。 
“單擺的週期是恒定的。”惠更斯說，“擺動週期與擺角大小無關，引力場那麼神奇的。” 
大師傅伽利略也是很奧妙的，他在比薩斜塔上丟了幾個品質不一樣的石頭。 　
“重的石頭和輕的石頭是同時落地的，引力場那麼神奇的。” 　　　
這兩個哥們一個沒有考慮大角度單擺的導致的橢圓積分，一個沒有考慮空氣阻力導致的動力系統吸引子。 不過都是大師，這樣的時代背景燈光下，牛頓宛如一個脫衣舞娘，引起眾人的圍觀。 
 　　（3） 
牛頓的脫衣舞是不能長時間佔據眼球的。 於是，一個新的問題就出現了，那就是“最速降線”的問題。 如果在平面重力場中，高處有A點，低處有B點，如果A，B不在一條鉛直線上，那麼，在兩點之間連一條曲線，問什麼曲線能讓小球沿這個軌道滑下來用的時間最短。 　　　
牛頓當然思考這樣的問題，但不知道怎麼做。問題留給了伯弩利家族。 伯弩利兄弟自然是技壓群雄，解答了這個問題。 　　
如果讀者們有興趣，可以寫出這個時間的積分。 　　
t=int ds/v 　　　
ds是曲線的弧長，v是速率。 　　　
這個積分寫在直角坐標系中，根據能量守恆，一定是很容易寫的。 問題的關係是，你要求t最小，但曲線的形狀y（x）沒有確定，所以這個積分實際上是一個泛函（注：t是函數y（x）的函數）。 　　　
最速降線的t是路徑y（x）的一個函數。 這一點是非常重要的。----如果讀者們有宏大的視野，可以相信，這個問題可以用光線在一個變化折射率的介質中的傳播時間最短來模擬。 但無論這個問題的模型是什麼，總之，這是一個歐拉--拉格朗日變分問題。 
 　　（4） 　　　
好了，以上這個積分其實可以看成一個阿貝爾變換。 阿貝爾是挪威的青年，他的生命短暫，但萬古長年，死後2000年，只要還有人類，依然會有人懷念他。 他曾經也考慮過引力場中的路徑問題，不過換了一個版本。 　　　
阿貝爾的問題是：如果有一個山，一個小球因為重力從山上滾下來的時間T是山的高度h的函數T（h）。 T（h）的運算式就是上面我們講的積分，如果你已經知道T（h），那麼你能不能反推出這個山的形狀。 　　
答案是肯定的，這就是阿貝爾變換存在反變換。 正如傅裡葉變換存在反變換一樣的。 　　　
阿貝爾已經死了，阿貝爾死的那個晚上千紅一哭。 愛因斯坦還活著，愛因斯坦並不清楚阿貝爾的故事，也不清楚阿貝爾祖國的另外一個高手李發明的李群。 　　　
有很多東西是愛因斯坦不知道的。

江南布衣 發表於 2012-5-31 08:52:08

本帖最後由左輔於 2012-6-4 02:05 編輯 　　【第51章伯恩：人心思變 】 
　　 　　(1) 愛因斯坦不知道的事情是很多的,換句話說,愛因斯坦在數學上是有點外行的. 但他能夠得到自己的物理洞見,而這些恰恰是另外一種境界. 　　　 廣義相對論的發展也是有一些路標,這些路標都是愛因斯坦一個人擺在那裡的. 　　　 1905年,狹義相對論 　 1907年,等效原理 　 1911年,光線在引力場中彎曲 　 1916年,愛因斯坦引力方程 　　　 1905年,愛因斯坦關於狹義相對論的文章發表以後,江湖上反應非常冷淡。 這種冷淡讓愛因斯坦有點沮喪，他知道自己在專利局的身份使得自己看上去非常象一個民科。 　　　 其實，在柏林大學，普朗克的討論班裡，就在講相對論，討論班有一個人沒聽懂到底什麼是狹義相對論，但他相信這一定是一個牛比的學問。 這個人就是勞厄，他打定主意，一放假就去伯恩大學向“愛因斯坦教授”求教。 　　　 風餐露宿，趕路匆忙，勞厄趕到了伯恩大學，問道：“我想拜訪你們這裡的愛因斯坦教授。” 　 伯恩大學的人說：“愛因斯坦？教授？誰？” 　 　　 幸虧勞厄不是一個愣頭青，馬上說：“啊，他不是伯恩大學的，那他……我只知道他在伯恩。” 　　　 伯恩大學的人說：“這個人是幹什麼的？” 　 勞厄說：“他很牛比的……” 　 伯恩大學的人說：“他是公務員？你去專利局看看吧，那裡好象有一個人叫愛因斯坦。” 　 勞厄說：“謝謝。” 　　　　 趕到專利局，勞厄一頭撞上一個年輕人，穿得象一個油博士，在走廊裡來回踱步做思考狀：一件不太乾淨的格子襯衫，領子已經不再堅硬，耷拉的腦袋上頭髮亂成一團麻，眼神甚是迷離，似乎有點憂鬱。 　　　 專利局的走廊上空蕩蕩的。 　　　 “愛因斯坦博士在哪個辦公室？”勞厄問。 　　　 年輕人楞住了，不知道說什麼好，想了半天，說：“我叫愛因斯坦，對不起，我們這裡好象沒有第二個愛因斯坦。” 　　　　　　　 勞厄驚訝了，但很快就笑了，說：“大哥，我是來請教你問題的。” 　 愛因斯坦說：“你好，請教什麼？” 　 勞厄說：“外面有一家小飯館，如果可以，我們是不是邊吃邊聊？” 愛因斯坦說：“可以。” 　　　　 幾分鐘後，兩人在一家小餐館的桌旁坐了下來。　 　　 “我是普朗克的學生。我們對你的狹義相對論很有興趣。”　 勞厄說，“我也覺得，我們的時空觀需要被革新。” 　 “你是做什麼方向的研究的？”愛因斯坦說。 “光的干涉什麼的，不過我對x射線也有興趣的。” 勞厄說。
 　　（2） 勞厄走了以後，過了幾年，做了x射線對晶體的衍射實驗，使得人們進入到了一個真正實用的物理領域：x射線衍射分析。 但勞厄對狹義相對論還是如癡如醉的，寫了地球上第一本相對論方向的書《相對論原理》。 　　 愛因斯坦的生活沒有被勞厄所改變，不過這次學院派的人的來訪，增加了愛因斯坦的信心，他覺得自己還是有藥可救的。 當下最要緊的事情是去大學或者中學當個老師，這樣才可以最後成為教授。 
 　　（3） 　 專利局的日子，什麼時候才能到頭？ 1907年，愛因斯坦思考的是如何把世界線和萬有引力結合起來。 但一口吃不了胖子，他覺得先思考一下萬有引力。 　　　 這一次思考是在專利局的辦公桌邊進行的。 愛因斯坦發現：在一個自由下降的電梯裡，電梯裡的人是感受不到萬有引力的。 　　　 這是一個極端重要的發現，換句話說，在一個無引力場的空間，如果電梯向上加速的話，那麼電梯裡的人能感受到一個等效的引力。 　　　 這就是等效原理。 不過這個原理是很物理的，但我們可以在黎曼微分幾何裡重新來說這件事情： 　　　 存在一個高斯法坐標系，使得流形上一點p，克裡氏多夫符號函數在p點取值為0，度量在p點取為平坦度量。 　　 
（4） 
愛因斯坦的等效原理和高斯法坐標系是同一個事情。 克裡氏多夫符號函數和向量沿著流形上的路徑平行移動有關係。 因為在歐幾裡德空間，也就是我們初中學的幾何中，背後有一個隱藏的假設，那就是：向量在平行移動下是不變的。 　　 但彎曲的流形（引力場）沒有那麼好的對稱性，向量在平行移動的時候，移動後的結果是依賴於它走過的路徑的。 細節我們不再談，反正，在很小的距離上，向量平行移動的變化量和克裡氏多夫符號函數成正比的。 　　 dA ===克裡氏多夫符號函數 Adx 　　　 總之，很多事情可能是路徑依賴的。 打個比喻，蔣中正的曲線救國行動，行動的結果是依賴於他採取的曲線的。 　　　 再比如，在牛頓萬有引力場中，一個物體在空間走一個圈，引力場對它做功是零。 這是因為牛頓萬有引力F作為一個向量場存在一個勢函數phi。 但這在其他的很多物理情景下，一個物理場（向量場或者張量場）往往沒有這樣對應的簡單的勢函數。 比如，對於黎曼度量來說，就不能把度量寫成一個全微分。 　　　 推而廣之，很多情景是雷同的，量子物理學家把波函數在參數空間裡的這種平行移動後得到的變化稱為幾何相位。 　　　 對於這個時候的愛因斯坦來說，人生是路徑依賴的，他的人生已經在伯恩專利局附近畫出了一條路徑．　　 他渴望改變這路徑的走向．

江南布衣 發表於 2012-5-31 08:52:35

本帖最後由左輔於 2012-6-4 02:05 編輯 【第52章朗之萬：全世界只有12個人懂相對論】 　 　　(1) 　　
勞厄回到普朗克的身邊,大大的誇獎了愛因斯坦一番,說愛因斯坦的狹義相對論真是在經典力學的瓦礫之場上建立了一個華美的都城。 普朗克也大為所動，於是寫信給愛因斯坦說，說了半年，最後的通信讓愛因斯坦看到以後心花怒放，因為普朗克說：“愛因斯坦是當代活著的哥白尼”。 　
這是一句重話，相當於現時代，楊振寧給一個大學生寫信，說，你是當代活著的牛頓，這話傳出去弄不好是要死人的。 　　　
愛因斯坦在專利局當然是不想呆不下去了，於是他就去伯恩大學當了一個不要薪水的無薪講師。----主要是收一些學生的聽課費，要是在中國，這也算是一種變相家教。 　　　
歷史的發展並不是一馬平川的，而是蜿蜒曲折，狹義相對論的思想已經開始被普朗克等人在學術領域傳播，這自然引起了一些觀念上的革命，雖然愛因斯坦已經開始準備發展廣義相對論，但狹義相對論的市場化進程卻剛剛開始，消費者們還沒有準備好接受這一款雷人的新產品。 因為狹義相對論說，兩個速度不一樣的人，他們的衰老速度是不一樣的。那還了得嗎？ 　　　
江湖上的各個門派和三教九流異口同聲地說：“暈了。” 　　　
法國的朗之萬也有點暈，他不知道到底有多少人已經理解了狹義相對論，於是他說：“全世界只有12個人能懂相對論。” 
 　　（2） 
朗之萬的話一傳出去，新聞界也聽懂了，於是報紙上開始不斷引用朗之萬的這句詭異的話。 這句話實在是太精闢了，看上去就像是一副名畫《最後的晚餐》，尤其是12個人，簡直有了上帝的氣息。 而流言表明，這12個人，大多數是在柏林，而在法國的，顯然也有一個人，這個人自然是巴黎的貞操朗之萬。 　　
可惜，朗之萬是真的不懂狹義相對論，他不但不懂，而且還很糊塗，他的糊塗自然代表了時代的糊塗，因為他就像是科學界通往新聞界的喇叭，他又拋出了一個老嫗能解的問題：雙胞胎悖論。　 　　
雙胞胎悖論中的姐姐上天去了火星一番，妹妹留在地球，等姐姐回到地球，發現自己還是如花似玉的大姑娘，但妹妹已經人老珠黃。 悖論說，那既然運動是相對的，那為什麼故事的結局不是姐姐人老珠黃妹妹如花似玉的版本？ 　　
這個悖論一出來，街坊鄰居們紛紛議論開了，茶樓酒肆咖啡屋裡也爭得甚囂塵上。狹義相對論被朗之萬這樣用搗糨糊的方法一弄，傷了大眾的腦筋。 
 　　（3） 　　
如果讀者們回望一百年來的狹義相對論發展之道路，會發現這個悖論一直是一個豐碑。 這個豐碑的底座，鐫刻這多少前仆後繼夙興夜寐的身影。 多少人為了在這個豐碑上撞死而淚流滿面癡心不改，多少人為了這個豐碑茶不思飯不想性欲減退，多少人為了這個豐碑拋妻別子走上了民間科學家的漫漫野路？ 試想大地蒼茫，歲月沉浮如波濤洶湧，又有多少人真正地理解了這個豐碑的意義？ 　　　　
走在路上。 　
死在路上。 　　　
就是為了看清楚這碑上到底寫了什麼字。 　
今天，曾經困惑的靈魂還沒有走遠，但這個豐碑上的字已經被風雨吹刷字跡班駁，我們只能仔細分辨，才能看到，這個豐碑之上，寫著三個字：“世界線” 　　　
從地球去火星一趟回地球的姐姐，她的世界線是閔氏時空中的曲線C。 　
在地球的妹妹的世界線是閔氏時空中的直線L。 　　　
世界線的長度C小於L。 
所以，姐姐的固有時間要比妹妹的固有時間流得慢。 也就是說，姐姐是會比妹妹年輕的。 　　　
世界線的長短是一個積分過程，這個過程其實可以推廣到彎曲的時空。 世界線的長度是一個幾何不變數，只有這樣的不變數才代表真正的物理，也就是不會隨著觀察者本身的地位改變而改變的。 　　　
因為路徑積分也可以認為是對世界線來進行的，因為，作用量也可以在世界線上定義。 對於一個相對論性的粒子，如果要為它尋找一個作用量，最簡單也最直觀的辦法，就是把世界線的長度定義為它的作用量。 　　 
　　（4） 　　
螢火蟲追著你跑，會在黑夜裡留下一個光痕。 雖然愛因斯坦的輪廓已經在夜色中淹沒。但看到一個空間軌道，如果你總能想到沿著時間在時空中拉成一個世界線，你就象一個色盲，別人看到的世界是五顏六色，但你的眼睛裡是黑白的，都是一條一條的世界線。 　　
於是，一些基本的問題會象海浪一樣湧上來。舉個例子，你會問： 
1。存在不存在閉合的世界線？ 
2。時空流形上的兩個時空點之間，可能不可能有無窮多條測地線連接？ 
3。一條橢圓曲線能不能成為世界線？ 　　 這樣的怪問題會越來越多，但只有這樣，才可能有異常的眼神，人們看到的是時空點的集合，你看到的是線條的集合，這樣下去，世界上也許會有第13個懂相對論的人。

江南布衣 發表於 2012-5-31 08:52:53

本帖最後由左輔於 2012-6-4 02:06 編輯 
【第53章斯涅爾定理: 山寨版廣義相對論】 
 　　(1) 
　　 天黑的時候,也有蘑菇在生長. 因斯坦在伯恩大學做無薪的講師,覺得自己地位頗低, 雖然普朗克把自己評價為活著的哥白尼,但江湖上還是不太承認自己的獨特地位, 這讓愛因斯坦內心有一種宋祖德式的苦悶, 但愛因斯坦不太敢學宋祖德說自己是活著的魯迅那樣到處說自己是活著的哥白尼. 因為愛因斯坦相信, 真正有價值的石頭一定會在時間的長河裡洗滌出來成為金子. 　　 但講師的地位實在是太低了,愛因斯坦於是回到了自己大學時代度過的那個城市---蘇黎士, 蘇黎士風景秀美, 蘇黎士大學可以給他副教授的職位. 愛因斯坦很是歡喜. 　　　 這個時候,狹義相對論已經被開始在市場上緩慢流行, 如果從技術的層面來看狹義相對論,社會青年們要想理解狹義相對論,有的需要不止一生的時間. 但愛因斯坦不會停止自己的腳步,他腦子裡有一個巨大的問號, 這個問題在牛頓老師的<光學>裡也曾經提出來過,那就是: 引力場的存在會不會使得光線走過的空間路徑彎曲? 
 　　(2) 　　
為了山寨化廣義相對論, 我們需要來看一看初中物理中的一個關於光線彎曲的重要定理,這個定理就是斯涅爾定理,描述光的折射. 1.光在同一個媒介沿著直線傳播. 2.在不同媒介的交接面上,光線發生折射,入射角和折射角的正弦之比是折射率的倒數比. 　　　 這個定理是非常強大的,但它本質上(斯涅爾定理的積分表達)是費馬原理: 光從a點到b點的傳播時間取極小值. 　　　 我們無法考證愛因斯坦在考慮光線彎曲的過程中有沒有想到過這個原理,但無論怎麼樣,我們有以下的雷同: 　　 1.最速降線. 
　    2.光線折射 
 　　(3) 
　　 最速降線已經在前面的章節中探討過了.它需要的時間t是一個積分 
t=int ds/v 　 要求選擇積分的路徑,讓t最小.在這裡V是一個常數(總能量)減去高度開根號,也就是動能開根號.     V=sqrt(　1-y) 　　 這描述一個有品質的粒子在平面重力場中的最快降落過程. 　　　 而因為光線在運動過程中,幾何光學中的告訴我們,光也走了最小的時間. 　　　 t=int ds/v 　　　　 在平面變折射率的介質中,V是座標的函數 v(x,y)=c/n(x,y) 　　　 顯然,如果我們取折射率滿足n(x,y)=1/sqrt(　1-y), 那麼,光線在變折射率中的彎曲的軌道就是最速降線的軌道. 　　 換句話說, 幾何光線的彎曲可以用重力場中的有品質粒子的下落軌道來模擬. 　　　 這在數學意義上把光線彎曲和重力聯繫了起來. 這就是山寨版本的廣義相對論,也是任何一個具有初中物理水準的人可以作出來的.

江南布衣 發表於 2012-5-31 08:53:31

本帖最後由左輔於 2012-6-4 02:06 編輯 　　【第54章愛因斯坦的電梯 】　
 　　(1) 
　　 在上一章,已經講到, 廣義相對論在某種意義上是一個彎曲光線的儀器。 愛因斯坦也正是對光線彎曲的研究中最後走向廣義相對論的。 　　　 但歷史的發展就好象是股票市場上莊家拉升一個股票，不是一天就拉完的，必須有一個不斷洗盤不斷拉升的過程。 在我們走向廣義相對論的時候，我們要採取了這樣一條曲折爬升的路線來講解。 一天不可能完成一檔股票的拉升，同樣道理一天不能學會廣義相對論。 　　　 做莊好象做賊，需要出人意料。寫作物理學歷史也是同樣的，我們在這一章又要回過頭來，深入談談1907年的愛因斯坦電梯。 
 　　（2） 　　　 跳樓的那一瞬間，人是在引力場中做自由落體運動，感受不到重力的壓迫，這是一種真正輕鬆的狀態。 　　　 愛因斯坦也是這樣認為，他意識到，當一個人在一個自由落體的電梯裡，這個人完全感受不到引力的作用。 　　　 因此，做自由落體的一個人，是一個慣性系。 　 1。這個人的世界線是時空中的測地線。 2。這個人應該是沒有自轉的。　 　　 可是，什麼叫沒有自轉呢？ 　 因為宇宙空間裡，到處有各種複雜的引力場源，在任何一個空間點，引力場的分佈很複雜（在時間上來看，這個場分佈可能隨時間變化，描述一個引力場，引力勢不但是空間的函數，還可能是時間的函數，這需要類似於電磁場，引進標量勢和向量勢），但無論怎麼樣，把時間和空間放在一起看，時空是一個絕對的幾何物件。 　　 這樣複雜的情景裡，我們的第2點到底是什麼意思？ 
 　　（3） 　　 質點是不會自轉的，只有剛體才會自轉。在物理學中，在機器人研究中，剛體的運動非常重要。一般來說，一個剛體就是3個相互正交的向量組成的一個標架。 　　　 一個石獅子就是一個剛體，如果一個人把這塊石獅子從北京大學門口搬到了香山的山頂。 這個剛體就是空間上經歷了一次非常複雜的運動，這個複雜運動因為是運動路徑依賴的，並且運動的路徑是非常複雜的曲線，所以，要想描述這個運動不是那麼簡單的事情。 ---物理學家習慣於把剛體運動想像成一個外場中的陀螺的複雜運動,這個運動在多數情景下是解不出來的,稱為不可積的. 　　　 如果我們只關心石獅子一開始的位置和最終的位置，那麼問題要簡單得多： 　 1。開始位置和最終位置之間，有一個直線的平移。 　 2。開始位置和最終位置之間，石獅子的朝向有一個轉動。（標架有了自轉，比如本來石獅子頭朝東，後來朝西了） 　　　 這個過程綜合起來是一個運動群對剛體標架的作用，其實是一個歐幾裡德空間的平移群R3和一個特殊轉動群SO （3）的半直積。這個群被稱為特殊歐幾裡德群SE（3）。 　　　 這個李群是機械運動的全部數學基礎。有一個數學定理說，一個剛體的運動總可以歸結為沿著空間中某一個直線的平行移動，然後再繞這條神秘直線的轉動。 　　　 在搬動一個椅子的時候，在搬動一個石獅子的時候，從開始到結果，兩個狀態之間差了一個SE（3）群的作用。 　　　 對SE（3）群求時間導數，在單位元取值，就能得到一個李代數。這個李代數就是運動螺旋。 
 　　（4） 
　 前面說得有點複雜，但總的來說，標架是會轉動的。 轉動的參考系會產生科氏力，因此不是慣性系。 　　　 在一般的經典物理學中,剛體上的一個標架就是3個向量場,但在愛因斯坦以後,時間和空間組成一個四維的幾何體,我們的標架也要換成4個向量場. 　　　 4個向量沿著測地線走就是彎曲時空中的一個標架，很多情景下，它在沿著測地線走動的過程中會發生轉動。 　　　 因為測地線的切向量可以做為第一個向量場,把它確定下來以後,我們可以尋找剩下的三個向量場,這三個向量場一開始是正交的,並且要沿著測地線繼續保持正交. 這是可以找到的,但這三個向量場必須滿足一個性質,那就是它們沿著測地線應該是平行移動的. 這相當於要滿足一個向量場的方程. 　　　 愛因斯坦的電梯作為一個無限小的點,是做測地線運動的,但作為慣性系,它還應該是一個在運動過程中沒有自轉的標架.

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